6.2.3 6.2.4 第1课时 组合与组合数公式-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

6.2.3　组合 6.2.4　组合数 第1课时　组合与组合数公式 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解组合与组合数的概念．(重点) 2.会推导组合数公式，并会应用公式求值．(重点) 3.理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．(难点、易混点) 1．通过学习组合与组合数的概念，体现了数学抽象的素养. 2.借助组合数公式及组合数的性质进行运算，培养数学运算的素养. “校园歌手大赛”是某校的特色文化活动之一，它为同学们紧张、忙碌的学习生活提供了休闲、放松的平台，同时也给同学们出了一道数学题． 比较下列两个问题并发现它们之间的关系． (1)高二(1)班有3名同学想参加比赛，但是学校只给了每个班2个名额，且其中一名参加流行组，一名参加民歌组，共有几种不同的报名结果？ (2)高二(1)班有3名同学想参加比赛，但是学校只给了每个班2个名额．请问：共有几种不同的报名结果？ 1．组合的概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 思考1：怎样理解组合，它与排列有何区别？ [提示]　(1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． (2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点． (3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题． 2．组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 思考2：如何理解组合与组合数这两个概念？ [提示]　同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3. 3．组合数公式及其性质 (1)公式：C. ＝＝ (2)性质：C. ＝C＋C，C＝C (3)规定：C＝1． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同． (　　) (2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C. (　　) (3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题． (　　) (4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法． (　　) (5)现有4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念，有多少种送法是排列问题． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)× 2．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 A　[甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C＝3.]＝ 3．C＝________. 2 021　[C＝2 021．]＝C 4．求方程C的解． ＝C [解]　由题意知解得x＝4或6.或 组合的概念 【例1】　(1)判断下列问题是组合问题还是排列问题： ①设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ ②某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ ③2020年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？ (2)已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合． [思路点拨]　要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关． [解]　(1)①因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题． ②因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题． ③甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题． (2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即 所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE. 判断一个问题是否是组合问题的方法技巧 (1)区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，也就是说排列