6.2.1 6.2.2 第2课时 排列的综合应用-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

第2课时　排列的综合应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1．进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点) 2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点) 通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养. 数字排列问题 【例1】　用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？ (1)六位奇数； (2)个位数字不是5的六位数； (3)不大于4 310的四位偶数． [思路点拨]　明确奇数和偶数的特点，注意“0”这个特殊元素，利用直接法或间接法求解． [解]　(1)第一步，排个位数，有A种排法； 第二步，排十万位，有A种排法； 第三步，排其他位，有A种方法． 故共有A＝288个六位奇数．AA (2)法一(直接法)： 十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类． 第一类，当个位排0时，有A个； 第二类，当个位不排0时，有A个．AA 故符合题意的六位数共有A＝504(个)．AA＋A 法二(排除法)： 0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况． 故符合题意的六位数共有A＝504(个)．＋A－2A (3)分三种情况，具体如下： (ⅰ)当千位上排1,3时，有A个．AA (ⅱ)当千位上排2时，有A个．A (ⅲ)当千位上排4时，形如40××，42××的偶数各有A个； 形如41××的偶数有A个；A 形如43××的偶数只有4 310和4 302这两个数． 故共有A＋2＝110(个)．A＋A＋2AA＋AAA 1．若例题中的条件不变，求能被5整除的五位数有多少个？ [解]　能被5整除的数字必须是个位为0或5，若个位上是0，则有A＝216个能被5整除的五位数．A＋A＋A种排法，故共有A种排法，其余各位有A个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A个；若个位上是5，若不含0，则有A 2．本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135是第几项？ [解]　由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A＋1＝193，即240 135是数列的第193项．＋3A个数，所以240 135的项数是A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3A 数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项 解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素；解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论． 提醒：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理． 排队、排节目问题 【例2】　(1)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(　　) A．36种 B．42种 C．48种 D．54种 (2)7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？ ①老师甲必须站在中间或两端； ②两名女生必须相邻而站； ③4名男生互不相邻； ④若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站． [思路点拨]　(1)丙的位置固定，应该以甲的位置为分类标准． (2)①先考虑特殊元素甲；②捆绑法排列；③插空法排列． (1)B　[因为丙必须排在最后一位，所以只需考虑其余五个节目在前五位上的排法．当甲排在第一位时，有A＝18(种)编排方案，所以共有24＋18＝42(种)．]·A＝24(种)编排方案，当甲排在第二位时，有A (2)[解]　①先考虑甲有A＝2 160(种)；A种站法，再考虑其余6人全排，故不同站法总数为：A ②2名女生站在一起有站法A＝1 440(种)；·A种排法，所以有不同站法A种，视为一种元素与其余5人全排，有A ③先站老师和女生，有站法A＝144(种)；·A种，所以共有不同站法A种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A ④7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A＝420(种)．种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2· 本例(2)中条件不变，问题改为“老师不站中间，女生不站两端”，结果如何？ [解]　中间和两侧是特殊位置，可分类求解如下： ①老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有A种站法；·A·A ②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外4个位置之一，有A种站法．·A·A 所以共有不同站法A·A·A＋A·A·A ＝960＋1 152＝2 112(种)． 排队、排节目问题的解