7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-2021-2022学年新教材高中数学必修第三册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 学 习 目 标 核 心 素 养 1．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系． 2．了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算．(重点) 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点) 1．通过弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养． 2．借助角度与弧度的互化、扇形的弧长与面积的计算，培养学生的数学运算核心素养. 摄氏度与华氏温度 “在一个标准大气压下，把冰水混合物的温度定为零度，把沸水的温度定为100度，它们之间分成100等份，每一等份是摄氏度的一个单位，叫做1摄氏度”． 摄氏度的发明者是安德斯·摄尔修斯(Anders Celsius 1701～1744)，其结冰点是0℃，沸点为100℃.1714年德国人法勒海特(Fahrenheit)以水银为测温介质，制成玻璃水银温度计，选取氯化铵和冰水的混合物的温度为温度计的零度．人体温度为温度计的100度，把水银温度计从0度到100度按水银的体积膨胀距离分成100份，每一份为1华氏度，记作“1”．按照华氏温标，则水的冰点为32，沸点为212． “华氏温标”是经验温标之一．在美国的日常生活中，多采用这种温标．规定在一大气压下水的冰点为32度，沸点为212度，两个标准点之间分为180等份，每等份代表1度.华氏温度用字母“F”表示. 摄氏温度(℃)和华氏温度()之间的换算关系为： 华氏度与摄氏度的进率：华氏度()＝32＋摄氏度(℃)×1.8 摄氏度(℃)＝(华氏度()－32)÷1.8. 问题　(1(温度可以用摄氏温度与华氏温度来表示，测量角除了角度外，是否还有其他单位？它是怎样定义的？ (2(摄氏温度与华氏温度可以换算，而两种测量角的单位之间能否进行互化？怎样互化？ (3(今后我们常用哪种单位来度量角？为什么？ 提示　(1(弧度，弧长等于半径的弧所对的圆心角即为1弧度的角. (2(可以，1°＝. (3(弧度书写方便简单. 1．角度制与弧度制的概念 (1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为角度制．角度制规定60分等于1度，60秒等于1分． (2)弧度制． ①定义：以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ③表示方法：1弧度记作1 rad. 2．角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是α＝. 思考：在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？为什么？ [提示]　不相等．这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同． 3．角度制与弧度制的换算 一些特殊角的度数与弧度数的对应表： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π π π π 思考：某同学表示与30°角终边相同的角的集合时写成S＝{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}，这种表示正确吗？为什么？ [提示]　这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱，正确的表示方法应为或{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}． 4．扇形的弧长与面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝αR2. lR＝ 思考：我们初中学过的半径为r，圆心角为n°的扇形弧长、面积公式分别是什么？ [提示]　半径为r，圆心角为n°的扇形弧长公式为l＝.，扇形面积公式为S扇＝ 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧． (　　) (2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关． (　　) (3)160°化为弧度制是π rad. (　　) [提示]　(1)×.1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角． (2)√.“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关． (3)√.160°＝160×π rad. rad＝ [答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 2．1 080°等于(　　) A．1 080　 B．　　　 C．　 D．6π D　[1 080°＝180°×6，所以1 080°化为弧度是6π.] 3．与角π终边相同的角是(　　) A．π(k∈Z) π B．2kπ－ C．2kπ－π(k∈Z) π(k∈Z) D．(2k＋1)π＋ C　[选项A中π，故D项错．]π，k∈Z，当k＝0时，得[0,2π)之间的角为π有相同的终边，故C项对；(2k＋1)π＋π，与π，k∈Z，当k＝2时，得[0,2π)之间的角为π有相同的终边，B项错；2kπ－π，故与π，k∈Z，当k＝1时，得[0,2π