7.1.1 角的推广-2021-2022学年新教材高中数学必修第三册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

7.1　任意角的概念与弧度制 7.1.1　角的推广 学 习 目 标 核 心 素 养 1．了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角．(一般) 2．理解象限角的概念．(重点) 3．掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置．(重点、难点) 1．通过角的概念的学习，体现了数学抽象核心素养． 2．借助终边相同角的求解、象限角的判断等，培养学生的直观想象、数学运算核心素养. 周日早晨，小明起床后发现自己的闹钟指针停在5：00这一时刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习． 问题　小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？ 提示　时针转了－45°，分针转了－540°. 1．角的概念 (1)角：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边．由于是旋转生成的，也称为转角． (2)角的分类： 按旋转方向可将角分为如下三类： 类型 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转而形成的角 负角 按顺时针方向旋转而形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 2.角的加减法运算的几何意义 α＋β表示在角α的基础上，逆时针旋转β角度；α－β表示在角α的基础上，顺时针旋转β角度． 思考：用几何意义表示角的加、减时，按逆时针、顺时针旋转的是角的哪条边？ [提示]　在表示α±β时第二次旋转的是角α的终边． 3．象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上．这时，角的终边(除端点外)在第几象限，就把这个角称为第几象限角．如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限． 4．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． [拓展]　对于集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的理解应注意三点： (1)α是任意角． (2)“k∈Z”有三层含义： ①特殊性：k每取一个整数值就对应一个具体的角； ②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括α自身)； ③从几何意义上看，k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数，k取正整数时，逆时针旋转；k取负整数时，顺时针旋转；k＝0时，没有旋转． (3)集合中“k·360°”与“α”之间用“＋”连接，如－30°＋k·360°应看成(－30°)＋k·360°，表示与－30°角终边相同的角． 思考：相等的角终边相同吗？反过来，终边相同的角相等吗？ [提示]　相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)经过1小时，时针转过30°. (　　) (2)终边与始边重合的角是零角． (　　) (3)小于90°的角是锐角． (　　) [提示]　(1)×.因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°. (2)×.终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)． (3)×.锐角是指大于0°且小于90°的角． [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．钟表的分针在一个半小时内转了(　　) A．180°　　　　 B．－180° C．540° D．－540° D　[钟表的分针是顺时针转动，每转一周，转过－360°，当分针转过一个半小时时，它转了－540°.] 3．下列各角中，与330°角的终边相同的角是(　　) A．510°　 B．150°　　　 C．－150°　 D．－390° D　[与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选D．] 4．下列说法： ①第一象限角一定不是负角； ②第二象限角大于第一象限角； ③第二象限角是钝角； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中错误的序号为________．(把错误的序号都写上) ①②③④　[由象限角定义可知①②③④都不正确．] 任意角的概念 【例1】　(1)下列说法正确的是(　　) A．终边相同的角一定相等 B．钟表的时针旋转而成的角是负角 C．终边相同的角之间相差180°的整数倍 D．大于90°的角都是钝角 (2)给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第三象限角；④－315°是第一象限角．其中是真命题的有(　　) A．1个　 B．2个　　　 C．3个　 D．4个 (1)B　(2)C　[(1)终边相同的角不一定相等，可能相隔k·360°(k∈Z)，A错；钟表的时针是顺时针旋转，故是负角，所以B对；终边相同的角之间相差360°的整数倍，C错；200°>90°但200°不是钝角，D错． (2)－90°<－75°<0°，第四象限角，①正确；180°<225°<270°