7.2.4 第2课时 诱导公式⑤⑥⑦⑧-2021-2022学年新教材高中数学必修第三册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

第2课时　诱导公式⑤⑥⑦⑧ 学 习 目 标 核 心 素 养 1．掌握诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧，能正确运用这些公式求任意角的三角函数值．(重点) 2．能运用诱导公式进行简单的三角函数的化简与恒等式的证明．(重点、难点) 1．通过诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧的推导，培养学生的逻辑推理核心素养． 2．通过诱导公式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养. 同学们听了老师的记忆口诀后，更是摸不着头脑，老师随后做了解释，同学们脑洞大开，都拍手叫绝． 问题　(1)六组诱导公式左边的角能统一写成什么形式？ (2)你能举例说明“奇变偶不变，符号看象限”的含义吗？ 提示　(1)六组诱导公式均可以写成±α(k∈Z)的形式． (2)cos(π＋α)＝cos＝－cos α，k＝2时函数名称不变、符号把α看作锐角时，π＋α为第三象限角，第三象限角的余弦为负，故得到cos(π＋α)＝－cos α. 1．诱导公式⑤ sin＝cos_α， cos＝sin_α. 思考： (1)角－α与角α的终边有什么样的位置关系？ (2)点P1(a，b)关于y＝x对称的对称点坐标是什么？ [提示]　(1)角－α与角α的终边关于y＝x对称． (2)点P1(a，b)关于y＝x对称的对称点坐标是P2(b，a)． 2．诱导公式⑥ sin＝cos_α， cos＝－sin_α. 思考：如何由公式②、公式⑤推导公式⑥？ [提示]　sin＝sin ＝cos(－α)＝cos α. cos＝cos ＝sin(－α)＝－sin α. 3．诱导公式⑦ cos＝sin_α， sin＝－cos_α. 思考：如何推导公式⑦？ [提示]　cos＝cos ＝－cos＝sin α， sin＝sin ＝－sin＝－cos α. 4．诱导公式⑧ cos＝－sin_α， sin＝－cos_α. 思考：如何理解诱导公式⑤⑥⑦⑧？ [提示]　(1)函数名称：±α的正弦(余弦)函数值，分别转化为α的余弦(正弦)函数值． (2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． (3)作用：利用诱导公式⑤⑥⑦⑧，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化． (4)简记：“函数名改变，符号看象限”． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)sin(90°＋α)＝－cos α. (　　) (2)在△ABC中，sin . (　　) ＝cos (3)sin＝±cos α. (　　) [提示]　(1)×.由诱导公式⑥知sin(90°＋α)＝cos α. (2)√.因为.＝cos ，由诱导公式⑤可知sin ＝＋ (3)×.例如当k＝2时，sin＝sin(π－α)＝sin α≠±cos α. [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 2．已知sin 40°＝a，则cos 130°＝(　　) A．a　　　　　　　 B．－a C． D．－ B　[cos 130°＝cos(90°＋40°)＝－sin 40°＝－A．] 3．若cos<0，则θ是(　　) >0，且sin A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 C　[由于cos＝－sin θ>0， 所以sin θ<0， 又因为sin＝cos θ<0，所以角θ的终边落在第三象限，故选C．] 4．若cos(π＋α)＝＝________. ，则sin －，　[法一：cos(π＋α)＝－cos α＝ 所以cos α＝－.＝cos α＝－，sin 法二：cos(π＋α)＝cos，＝ 所以－sin.＝ 所以sin.]＝－ 利用诱导公式求值 【例1】　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　) A．　　　　　 B． C．－ D．－ (2)已知cos(π＋α)＝－的值为________． ，α为第一象限角，则cos (3)已知sin的值为________． ，则cos＝ (1)B　(2)－　[(1)sin 239°tan 149°　(3) ＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31° ＝.＝ (2)因为cos(π＋α)＝－cos α＝－， 所以cos α＝，又α为第一象限角， 则cos＝－sin α＝－ ＝－.)＝－ (3)cos＝cos ＝sin.]＝ 解决化简求值问题的策略 (1(首先要仔细观察条件式与所求式之间的关系，发现它们的互补、互余关系. (2(可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化. 提醒：常见的互余关系有：－θ等.＋θ与－θ，＋θ与－α等；常见的互补关系有：＋α与＋α，－α与 1．已知cos的值． sin，求cos＝ [解]　cos·sin ＝cos·sin ＝－cos·sin ＝－sin ＝－.＝－cos 利用诱