7.2.4 第1课时 诱导公式①②③④-2021-2022学年新教材高中数学必修第三册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

7.2.4　诱导公式 第1课时　诱导公式①②③④ 学 习 目 标 核 心 素 养 1．掌握诱导公式①②③④，并会用公式求任意角的三角函数值．(重点) 2．会用诱导公式①②③④，进行简单的三角求值、化简与恒等式的证明．(重点、难点) 1．通过诱导公式①②③④的推导，培养学生的逻辑推理核心素养． 2．借助诱导公式的应用，培养学生的数学运算和逻辑推理核心素养. 南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现自己的和谐之美．而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系．圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形． 南京眼的桥身的完美对称　　辽宁生命之环的完美对称 问题　你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？ 提示　π＋α的终边与α的终边关于原点对称；π－α的终边与α的终边关于y轴对称；－α的终边与α的终边关于x轴对称． 1．诱导公式① sin(α＋k·2π)＝sin_α(k∈Z)， cos(α＋k·2π)＝cos_α(k∈Z)， tan(α＋k·2π)＝tan_α(k∈Z)． 思考：根据三角函数的诱导公式①，终边相同的角的同名三角函数值有何关系？ [提示]　终边相同的角，其同名三角函数的值相等． 因为这些角的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等． 2．角的旋转对称 如图，已知角α的终边为OA，将射线OA逆时针旋转θ到OB，顺时针旋转θ到OC； 则射线OB是角α＋θ的终边，射线OC是角α－θ的终边，所以角α＋θ的终边和角α－θ的终边关于角α的终边所在的直线对称． 思考：角的正负与旋转方向之间的关系？ [提示]　将射线逆时针方向旋转得到正角，顺时针方向旋转得到负角． 3．诱导公式② sin(－α)＝－sin_α， cos(－α)＝cos_α， tan(－α)＝－tan_α. 思考：角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？ [提示]　角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称． 4．诱导公式③ sin(π－α)＝sin_α， cos(π－α)＝－cos_α， tan(π－α)＝－tan_α. 思考：角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？ [提示]　角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称． 5．诱导公式④ sin(π＋α)＝－sin_α， cos(π＋α)＝－cos_α， tan(π＋α)＝tan_α. 思考：角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P4(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？ [提示]　角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称；P4与P也关于原点对称． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)诱导公式中角α是任意角． (　　) (2)sin(α－π)＝sin α. (　　) (3)cos . (　　) π＝－ [提示]　(1)×.正、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义． (2)×.sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α. (3)√.cos .＝－＝－cos ＝cos [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．sin(－120°)的值是(　　) A．　　　　　　 B．－ C． D．－ D　[sin(－120°)＝－sin 120°＝－sin 60°＝－.] 3．cos＝________. －sin －sin　[cos ＝cos ＋sinπ＝cosπ＋sin ＝cos ＋sin ＝.]＝＋ 4．化简：＝________. 1　[＝ ＝＝1.]＝ 给角求值问题 【例1】　求下列各三角函数式的值． (1)cos 210°；(2)sin π； (3)sin；(4)cos(－1 920°)． [解]　(1)cos 210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos 30°＝－. (2)sin ＝sin ＝sin π＝sin ＝sin .＝ (3)sin＝－sin ＝－sin .＝＝sin ＝－sin (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60° ＝－. 利用诱导公式求任意角三角函数值