7.2.3 同角三角函数的基本关系式-2021-2022学年新教材高中数学必修第三册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

7.2.3　同角三角函数的基本关系式 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点) 2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点) 1．通过同角三角函数基本关系式推理，培养学生的逻辑推理素养． 2．借助同角三角函数基本关系式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养. 气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风．这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化．蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索．从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点． 问题　既然感觉毫不相干的事物都是互相联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？ 提示　sin2α＋cos2α＝1， tan α＝. 1．平方关系 (1)公式：sin2α＋cos2α＝1. (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 2．商数关系 (1)公式：tan α＝. (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切． 思考：(1)“同角”一词的含义是什么？ (2)两个公式成立的条件分别是什么？ (3)同角三角函数的基本关系有变式吗？分别是什么？ [提示]　(1)一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1等． (2)平方关系对于α∈R都成立；商数关系中公式成立的条件为：α≠kπ＋，k∈Z. (3)有．①sin2α＋cos2α＝1的变形公式有： sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α. ②tan α＝的变形公式有： sin α＝cos α·tan α；cos α＝. 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)因为sin2＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角．π＋cos2 (　　) (2)对任意角θ，sin2＝1都成立． (　　) ＋cos2 (3)对任意的角α，都有＝tan α成立． (　　) [提示]　(1)×.由同角三角函数的基本关系式知：sin2α＋cos2α＝1，且α为任意角． (2)√.在sin2α＋cos2α＝1中，令α＝＝1.＋cos2可得sin2 (3)×.当α＝＋kπ，k∈Z时就不成立． [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 2．已知α∈，则tan α＝(　　) ，sin α＝ A．－　 B．2　　　 C．　 D．－2 A　[因为α∈，，sin α＝ 所以cos α＝－，)＝－＝－ 则tan α＝，故选A．]＝－ 3．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　) A．－ B．－ C． D． B　[因为cos2α＝1－sin2α＝1－，＝ 所以sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝.]＝－－ 4．若sin α＋3cos α＝0，则的值为________． －　[因为sin α＋3cos α＝0，所以tan α＝－3，因此 原式＝.]＝－＝ 利用同角三角函数基本关系式求值 角度一　已知一个三角函数值求另两个三角函数值 【例1】　(1)(教材P23例1改编)若sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值； (2)若cos α＝，求tan α的值； (3)若tan α＝－，求sin α的值． [思路探究]　对(1)中明确α是第三象限角，所以只有一种结果．对(2)，(3)中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果． [解]　(1)因为sin α＝－，α是第三象限角， 所以cos α＝－，＝－ tan α＝.＝×＝－ (2)因为cos α＝>0， 所以α是第一、四象限角． 当α是第一象限角时， sin α＝，)＝＝ 所以tan α＝；＝ 当α是第四象限角时， sin α＝－，)＝－＝－ 所以tan α＝－. (3)因为tan α＝－<0， 所以α是第二、四象限角． 由.可得sin2α＝ 当α是第二象限角时，sin α＝； 当α是第四象限角时，sin α＝－. 利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法 (1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系； (2)若角α所在的象限已经确定，求另两