1.5.2 余弦函数的图象与性质再认识-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(北师大)

5.2　余弦函数的图象与性质再认识 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能正确使用“五点法”、“图象变换法”画出余弦函数的简图．(重点)． 2．掌握余弦函数的性质，会求余弦函数的最小正周期，单调区间和最值．(难点) 1.通过画余弦函数的图象，培养直观想象素养． 2．通过余弦函数的性质的应用，培养数学运算素养. 余弦函数的图象与性质 函数 y＝cos x 图象 定义域 R 值域 [－1,1] 最值 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 周期性 周期函数，T＝2π 奇偶性 偶函数，图象关于y轴对称 单调性 在，k∈Z上是单调递增的； 在[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上是单调递减的 思考：1.如何由y＝sin x，x∈R的图象得到y＝cos x，x∈R的图象？ 提示：只需将y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位即可得到y＝cos x，x∈R的图象． 2．余弦曲线对称轴与中心对称图形分别是什么？ 提示：余弦曲线与正弦曲线一样既是轴对称图形，也是中心对称图形．它的对称轴有无数条，其方程是x＝kπ，k∈Z；它的对称中心有无数个，其坐标为，k∈Z. 1．函数y＝cos x，x∈R的图象向左平移的解析式为(　　) 的图象，则g个单位后，得到函数y＝g A．－sin x　　　　　 B．sin x C．－cos x D．cos x A　[依题意知，g＝－sin x，故选A．]＝cos 2．函数y＝－cos x，x∈R是(　　) A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为2π的奇函数 C　[由于y＝－cos x的图象与y＝cos x的图象关于x轴对称， 所以y＝－cos x的周期与y＝cos x的周期相同，且图象仍关于y轴对称，所以是偶函数，故选C．] 3．设函数f＝________. ＝11，则fcos x＋1，若f＝ －9　[令g为定义在R上的奇函数．cos x，则g－1＝＝f 又∵f－1＝10，＝f＝11，∴g ∴g＝－10，＝－g ∴f＋1＝－9.]＝g 4．画出y＝1－3cos x在上的简图，并指出其最值和单调区间． [解]　列表： x 0 π π 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－3cos x －2 1 4 1 －2 图象如下： 由图象可知，函数y＝1－3cos x在.，减区间为上的最大值为4，最小值为－2，单调增区间为 “五点法”作图 【例1】　画出函数y＝1－cos x，x∈的图象． [解]　按五个关键点列表： x 0 π 2π y 0 1 2 1 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来 如图所示： 1．画余弦函数的图象，与画正弦函数图象的方法一样，关键要确定五个关键点．这五个点的坐标是(0,1)，，(2π，1)．，(π，－1)， 2．形如y＝acos x＋b，x∈的函数，也可由五点法画图象． 1．用“五点法”画出y＝3＋2cos x，x∈的图象． [解]　(1)列表 x 0 π 2π y＝cos x 1 0 －1 0 1 y＝3＋2cos x 5 3 1 3 5 (2)描点，连线，如图所示： 余弦函数的单调性及应用 【例2】　(1)求函数y＝3－cos x的单调增区间； (2)比较大小：cos. ________cos [思路点拨]　(1)y＝3－cos x的单调性与y＝－cos x的单调性一致，与y＝cos x的单调性相反；(2)利用诱导公式转化到同一单调区间上来比较大小． (1)[解]　由于y＝cos x的单调减区间为，k∈Z， 所以函数y＝3－cos x的单调增区间为，k∈Z. (2)<　[由于cos，＝cosπ＝cos cos，＝cos 又∵上单调递减，，而y＝cos x在< ∴cos.]<cos，即cos>cos 1．形如y＝acos x＋b(a≠0)函数的单调区间 (1)当a>0时，其单调性同y＝cos x的单调性一致； (2)当a<0时，其单调性同y＝cos x的单调性恰好相反． 2．比较cos α与cos β的大小时，可利用诱导公式化为内的余弦函数值来进行比较． 2．求函数y＝cos 2x的单调增区间． [解]　由于y＝cos x的递增区间为，k∈Z， 由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ，k∈Z， 因此，y＝cos 2x的单调增区间为，k∈Z. 3．已知x∈[0，π]，f＝cos(sin x)的最大值为c，最小值为d，试判断a、b、c、d的大小关系． ＝sin(cos x)的最大值为a，最小值为b.g [解]　∵