1.5.1 正弦函数的图象与性质再认识-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(北师大)

§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5.1　正弦函数的图象与性质再认识 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能用“五点法”画正弦函数在[0,2π]上的图象．(重点) 2．理解正弦曲线的意义．(难点) 3．掌握正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期，单调区间和最值．(难点) 1.通过画正弦函数的图象，培养直观想象素养． 2．通过正弦函数性质的应用，培养数学运算素养. 1．正弦函数的图象 在函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，起着关键作用的有五个关键点：(0,0)，，(2π，0)． ，(π，0)， 描出这五个点后，函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图．我们称这种作正弦曲线的方法为“五点法”． 2．正弦函数y＝sin x的性质 函数 y＝sin x 定义域 R 值域 [－1,1] 奇偶性 奇函数 周期性 周期函数，T＝2π 单调性 在(k∈Z)上是单调递增的； 在(k∈Z)上是单调递减的 最值 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－1 思考：1.“正弦函数在第一象限是增加的”这一说法正确吗？为什么？ 提示：不正确．事实上，“第一象限”是由所有的区间(k∈Z))构成的，在这样若干个区间所构成的集合的并集内，显然函数值不是随着x值的增加而增加的． 2．正弦曲线有对称轴和对称中心吗？分别有多少个？ 提示：正弦函数曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形．函数y＝sin x，x∈R的对称轴是x＝kπ＋(k∈Z)，有无数条；对称中心是点(kπ，0)(k∈Z)，有无穷多个． 1．函数y＝－sin x，x∈的简图是(　　) D　[函数y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选D．] 2．用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列不是关键点的是(　　) A．　　　　　　 B． C．(π，0) D．(2π，0) [答案]　A 3．函数y＝sin取得最大值的x的集合是________． ＋2kπ，k∈Z时，＋2kπ，k∈Z，即x＝＝　[当且仅当x－ y＝sin取最大值． 故x的集合为.] 4．已知y＝a＋bsin x的最大值是，求a，b的值． ，最小值是－ [解]　由，b＝±1. ，得a＝ “五点法”作图 【例1】　用五点法作函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的图象. [解]　(1)列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 (2)描点、连线，图象如图． 1．令x分别取0，，2π，然后求出相应的y值，便得到决定图象特征的五个关键点．，π， 2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向． 1．作出函数y＝－sin x(0≤x≤2π)的简图． [解]　列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 －sin x 0 －1 0 1 0 描点并用光滑的曲线连接起来，如图． 利用正弦函数图象解不等式 【例2】　利用y＝sin x的图象，在[0,2π]内求满足sin x≥－的x的取值范围． [思路点拨]　画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象， 作出直线y＝－的图象，直线上方图象符合题意． [解]　列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 描点，连线如图，同时作出直线y＝－的图象． 由图象可得sin x≥－，2π)).))∪的x的取值范围为 用三角函数图象解三角不等式的方法. (1(作出相应正弦函数在[0，2π]上的图象； (2(写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集； (3(根据所给条件写出不等式的解集. 2．利用正弦曲线，求满足的x的集合． <sin x≤ [解]　首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象．如图所示，作直线y＝；和，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为 作直线y＝.和，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为 观察图象可知，在[0,2π]上， 当成立．<sin x≤ 时，不等式 ≤x<，或<x≤ 所以的解集为<sin x≤ ，k∈Z))).≤x<2kπ＋，2kπ＋ 正弦函数性质及应用 角度一　最值与值域问题 【例3】　求下列函数的值域． (1)y＝2－sin x； (2)y＝sin2x－4sin x＋5，x∈. [解]　(1)由正