1.4.3 诱导公式与对称 1.4.4 诱导公式与旋转-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(北师大)

4.3　诱导公式与对称 4.4　诱导公式与旋转 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用．(重点) 2．理解诱导公式的推导过程．(难点) 3．能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题．(难点) 1.借助诱导公式的推导，培养逻辑推理素养． 2．通过诱导公式的应用，提升数学运算素养. 1．2kπ±α，－α，π±α(k∈Z)的诱导公式 对任意角α，有下列关系式成立： sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α. sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. sin(α－π)＝－sin α，cos(α－π)＝－cos α. sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α. sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α. 这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号． 思考：1.设α为任意角，则角2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的关系？ 提示： 相关角 终边之间的关系 2kπ＋α与α 终边相同 π＋α与α 关于原点对称 －α与α 关于x轴对称 2kπ－α与α 关于x轴对称 π－α与α 关于y轴对称 2.±α的诱导公式 对任意角α，有下列关系式成立： sin＝－sin α. ＝cos α，cos sin＝sin α. ＝cos α，cos 这两组诱导公式的记忆：＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．－α， 思考：2.设α为任意角，则角±α与α的终边有什么关系？ 提示：－α的终边与α的终边关于y＝x对称．＋α的终边与α的终边垂直， 1．sin 585°的值为(　　) A．－　　　　　　　 B． C．－ D． A　[sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°) ＝－sin 45°＝－.] 2．若sin α＝的值为(　　) ，则cos A． B． C．－ D．－ C　[∵sin α＝.]＝－sin α＝－，∴cos 3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称 .若sin α＝，则sin β＝________. 　[α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z， ∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z. ∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝.] 4．化简：. [解]　原式＝＝sin θ.＝ 条件求值 角度一　给角求值问题 【例1】　　求下列三角函数的值： (1)sin；(2)cos 960°. [解]　(1)sin.＝－＝－sinπ＝－sin＝－sinπ＝－sin＝－sin (2)cos 960°＝cos(240°＋2×360°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－. 角度二　给值求值问题 【例2】　已知sin(α－75°)＝－，求sin(105°＋α)的值． [解]　sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝. 1．已知角求值，一般利用诱导公式，逐步把角化为锐角再求． 2．利用诱导公式求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中的角之间的联系，例如105°＋α与75°－α互补，＋α互余．－α与 1．已知sin的值． ，求cos＝ [解]　cos＝cos ＝cos.＝＝sin 利用诱导公式化简和证明 【例3】　化简：cosπ－α(n∈Z)． ＋cos [思路点拨]　先对n分奇偶讨论，再使用诱导公式． [解]　原式＝cos＋α.＋cosnπ－ 当n为偶数时， 原式＝cos；＝2cos＋cos 当n为奇数时， 原式＝cos.＝－2cos－cos＝－cos＋α＋cosπ－＋α＝cosπ＋π＋π－＋cos 综上可知，原式＝ . 若将本例中的“cos”改为“sin”应如何化简？ [解]　原式＝sin.＋sin 当n为偶数时， 原式＝sin＝0；－sin＝sin＋sin 当n为奇数时， 原式＝))＝0.＋sin))＝＋sinπ－))＝))＋ 综上可知，原式＝0. 利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有kπ±α，π±α(k∈Z(时，要注意对k的奇偶性进行讨论. 诱导公式的综合应用 【例4】　　已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值． [解]　由sin(α－3π)＝2cos(α－4π) 得sin(α－π)＝2cos α，即sin α＝－2co