1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 1. 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(北师大)

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解单位圆与正弦、余弦函数的关系． 2．掌握任意角的正弦、余弦函数定义．(重点) 3．掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号．(重点) 1.通过正弦、余弦函数定义的学习，培养数学抽象素养． 2．通过正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号判断，培养逻辑推理素养. 1．任意角的正弦、余弦函数 (1)单位圆的定义：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆． (2)如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆O交于点P. 正弦函数sin α 余弦函数cos α 定义 点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数，记作v＝sin_α 点P的横坐标u叫作角α的余弦函数，记作u＝cos_α 在各象限 的符号 思考：1.已知Q是角α终边上除原点外的一点，如何求sin α与cos α？ 提示：sin α＝.，cos α＝ 2．正弦函数、余弦函数的基本性质 性质 正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x 定义域 R 值域 最大值与 最小值 当x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝1； 当x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－1 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1； 当x＝π，k∈Z时，ymin＝－1 周期性 周期函数，T＝2π 单调性 在， k∈Z上是增加的； 在， k∈Z上是减少的 在， k∈Z上是增加的； 在， k∈Z上是减少的 思考：2.为什么y＝sin x，x∈R是周期函数？ 提示：因为x∈R，x＋2π与x终边相同，所以sin＝sin x，根据周期函数的定义可知，y＝sin x，x∈R是周期函数． 1．设已知角α的终边与单位圆交于点，则sinα的值为(　　) A．－　　　　　　 B．－ C． D． B　[由于x＝－，故选B．]，由正弦函数的定义知，sin α＝y＝－，y＝－ 2．当α为第二象限角时，的值是(　　) － A．1 B．0 C．2 D．－2 C　[∵α为第二象限角， ∴sin α>0，cos α<0. ∴＝2.]－＝－ 3．点P(sin 2 020°，cos 2 020°)位于第________象限． 三　[∵2 020°＝5×360°＋220°， ∴2 020°是第三象限角， ∴sin 2 020°<0，cos 2 020°＜0， ∴点P位于第三象限．] 4．已知sin x＝2m＋3，且x∈，求m的取值范围． [解]　∵x∈， ∴结合单位圆知sin x∈， 即－. ≤2m＋3≤ ∴－. ≤m≤－ 正弦函数、余弦函数定义 【例1】　已知角α的终边过点P，求2sin α＋cos α的值． [解]　r＝＝5|a|. ①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限， sin α＝，＝－＝，cos α＝＝＝ ∴2sin α＋cos α＝＝1.－ ②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝，＝，cos α＝＝－ ∴2sin α＋cos α＝－＝－1.＋ 已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 1．在角α的终边上任选一点P(x，y)，求出点P到原点的距离为r.，cos α＝，则sinα＝ 2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 1．已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α，cos α的值． [解]　因为角α的终边在直线y＝x上， 所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点， 则r＝＝2|a|(a≠0)． 若a>0，则α为第一象限角，r＝2a， 所以sin α＝ . ＝，cos α＝＝ 若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a， 所以sin α＝. ＝－，cos α＝－ ＝－ 正弦、余弦函数值符号的判断 【例2】　(1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)判断下列各式的符号． ①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4. (1)D　[(1)∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0， ∴点P在第四象限，故选D．] (2)[解]　①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0， ∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角，∴cos (－210°)＜0， ∴sin 145°cos(－210°)＜0. ②∵，＜3＜π，π＜4＜ ∴sin 3＞0，cos 4＜0， ∴sin 3·cos 4<0. 对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定