1.2 任意角-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(北师大)

§2　任意角 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解任意角的概念，理解象限角的概念．(重点) 2．掌握终边相同的角的含义及其表示．(难点) 1.通过对任意角与象限角的概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助终边相同的角的表示，培养数学运算素养. 1．角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点O从一个位置 OA旋转到另一个位置OB所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边． 2．按照角的旋转方向，分为如下三类 类型 定义 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角 3.象限角 如果角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴的非负半轴，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 思考：1.第二象限角比第一象限角大吗？ 提示：不一定．如120°是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°. 4．终边相同的角 给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和． 思考：2.终边相同的角一定相等吗？ 提示：不一定．如30° 与390°角的终边相同，但并不相等． 1．－300°是第(　　)象限角 A．一　　　　　　　　 B．二 C．三 D．四 A　[因为－300°的终边和60°的终边相同，所以它是第一象限角，故选A．] 2．设A＝{α|α为锐角}，B＝{α|α为小于90°的角}，C＝{α|α为第一象限的角}，D＝{α|α为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(　　) A．A＝B B．B＝C C．A＝C D．A＝D D　[根据角的分类，可知应选D．] 3．将－885°化为α＋k·360°(0°≤ α<360°，k∈Z)的形式是 ________________. [答案]　195°＋(－3)× 360° 4．求终边在直线y＝x上的角的集合S. [解]　因为直线y＝x是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°， 所以S＝{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z} ＝{α|α＝2k·180°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z} ＝{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z}. 角的概念的推广 【例1】　写出下图中的角α，β，γ的度数． (1)　　　　　　　　　　(2) [解]　由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°. 1．理解角的概念的三个“明确” 2．表示角时的两点注意 (1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“ α”. (2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，即箭头代表着角的正负． 1．(1)图中角α＝________，β＝________； (2)经过10 min，分针转了________． (1)－150°　210°　(2)－60°　[(1)α＝－(180°－30°)＝－150°，β＝30°＋180°＝210°. (2)分针按顺时针转过了周角的，即－60°.] 终边相同的角 【例2】　已知α＝－1 190°. (1)把α写成β＋k× 360°(k∈Z,0°≤ β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤ θ＜0°. [解]　(1)α＝－1190°＝250°－4×360°，其中β＝250°，它是第三象限角． (2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)， 取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角， 即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. 所以θ为－110°，－470°. 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值即可. 2.写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合． [解]　终边在直线OM上的角的集合为M＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}． 同理可得终边在直线ON上的角的集合为{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°＋n·180°≤ α≤ 60°＋n·180°，