17.2.2勾股定理的应用(精讲)-【重要笔记】2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)

17.2.2勾股定理的应用 题型1：勾股定理的应用-求树/旗杆的高度 1如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　） A．米 B．米 C．4米 D．6米 【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度． 【解答】解：如图，根据题意BC＝2米，∠BCA＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴AB＝2BC＝2×2＝4米， ∴2+4＝6米． 故选：D 【变式1-1】如图，在离地面高度6m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC的长是（　　） A．12m B．2m C．4m D．6m 【分析】根据三角形的内角和定理得到∠DCA＝30°，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵CD＝6m，∠CDA＝90°，∠CAD＝60°， ∴∠DCA＝30°， ∴AC＝2AD， ∵AC2＝AD2+CD2， ∴AC2＝（AC）2+62， 解得AC＝4， 故拉线AC的长是4m， 故选：C 【变式1-2】如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．7米 【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【解答】解：由题意可知．BE＝CD＝1.5m，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3m，AC＝5m， 由勾股定理得BD＝CE＝＝4（m）， 故离门4米远的地方，灯刚好打开． 故选：B 【变式1-3】如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树相距12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（　　） A．10米 B．15米 C．16米 D．20米 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【解答】解：如图， 建立数学模型，两棵树的高度差AC＝19﹣10＝9米，间距AB＝DE＝12米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离BC＝＝15米． 故选：B 题型2：勾股定理的实际应用-梯子问题 2如图，一架2.5m长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子的底部将平滑（　　） A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m 【分析】先根据梯子的顶端下滑了0.4米求出A′C的长，再根据勾股定理求出B′C的长，进而可得出结论． 【解答】解：∵梯子的顶端下滑了0.4米， ∴A′C＝2m， ∵在Rt△A′B′C中，A′B′＝2.5m，A′C＝2m， ∴B′C＝＝＝1.5m， ∴BB′＝B′C﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8m． 故选：D 【变式2-1】如图，学校要把宣传标语挂到教学楼的顶部C处，已知楼顶C处离地面的距离CA为8m，为保证安全，梯子的底部和墙基的距离AB至少为4m，要使云梯的顶部能到达C处，估计云梯的长度至少为（　　） A．8m B．9m C．10m D．12m 【分析】利用勾股定理求出BC的长度，估算后即可得到答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8m，AB＝4m， ∴BC＝＝＝（m）， ∵8＜＜9， ∴云梯的长度至少9m， 故选：B 【变式2-2】如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是（　　）尺． A．8 B．10 C．13 D．12 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理列方程可解答． 【解答】解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺， 由勾股定理得：52+x2＝（x+1）2， 解得：x＝12， 答：水的深度是12尺， 故选：D 【变式2-3】如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m． （1）开始时，船距岸A的距离是 　12　m； （2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动 　（12﹣）　m． 【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长； （2）根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m， ∴（m）， 故答案为：12； （2）∵淇淇收绳5m后，船到达D处， ∴CD＝5（m）， ∴AD＝（m）， ∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣）m