17.2.1勾股定理的逆定理和勾股数(精讲)-【重要笔记】2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)

17.2.1勾股定理的逆定理和勾股数 勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 题型1：勾股定理的逆定理 1.下列数据中不能作为直角三角形的三边长是（　　） A．1、1、 B．5、12、13 C．3、5、7 D．6、8、10 【变式1-1】以a、b、c三边长能构成直角三角形的是（　　） A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝32，b＝42，c＝52 C．a＝，b＝，c＝ D．a＝5，b＝6，c＝7 【变式1-2】已知a、b、c为△ABC的三边，旦满足（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，则它的形状为 　 　三角形． 【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3． （1）求BC的长； （2）求证：△BCD是直角三角形． 如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 题型2：判定三边能否构成三角形（具体数值、比值或字母参数） 2.现有四块正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，选取其中三块按如图的方式围成一个三角形，如果要使这个三角形是直角三角形，那么选取的三块纸片的面积分别是（　　） A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，4，5 D．3，4，5 【变式2-1】如图，已知AD＝6，BD＝8，AC＝26，BC＝24，∠ADB＝90°．问△ABC是直角三角形吗？并说明理由． 【变式2-2】有一块薄铁片ABCD，∠B＝90°，各边的尺寸如图所示（单位：cm），如果沿着对角线AC剪开，那么得到的两块三角形铁皮的形状都是“直角三角形”吗？请说明理由． 【变式2-3】已知△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1． （1）求证：△ABC是直角三角形． （2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数． 互逆命题 如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题. 注意：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题. 题型3：互逆命题 3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　） A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90° C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形 D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形 【变式3-1】下列命题中，正确的个数是（　　） （1）三边长分别为、、的三角形是直角三角形； （2）三边长分别为15、20、25的三角形是直角三角形； （3）有两条边的长分别为3和4，另一边的长大于5的三角形不是直角三角形； （4）有两条边的长分别为3和4，另一边的长小于5的三角形不是直角三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】下列命题正确的是（　　） A．若直角三角形有两条边的长分别为3和4，则第三边一定为5，第三边上的高是2.4 B．在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°，则AB：AC：BC＝1：2：3 C．三边长为1：1：的三角形是等腰直角三角形 D．因为（）2+（）2≠（）2，所以为边的三角形不是直角三角形 勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 1 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 注意：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长； 勾股数的求法： 如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a²=b+c，则a,b,c为一组勾股数； 如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数. 题型4：勾股数 4.下列各组