专题15 导数综合题-备战2022年新高考之湖南数学模拟题分类汇编

专题15 导数压轴题 1．（2021•湖南模拟）已知函数． （1）若在内是减函数，求的取值范围； （2）若，证明：当时，． 【答案】（1），（2）见解析 【详解】（1）解：函数的定义域为， ，因为在内是减函数， 所以恒成立，即在恒成立， 令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以（1）， 所以，即的取值范围是，． （2）证明：当时，， 令，， ，， ，在上，单调递增，且（1）， 所以在上，，单调递减，在上，，单调递增， 所以（1）， 所以在上单调递增，且（1）， 所以在上，，单调递减，在上，，单调递增， 所以（1）， 所以， 即，得证． 2．（2021•湖南模拟）已知曲线在处的切线斜率为． （1）确定的值，并讨论函数的单调性； （2）当时，，求的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）定义域为，， 依题意：，所以． 所以， 当时，，在上单调递增， 当时，令，得， 当时，，在，上单调递减， 当时，，在，上单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递减，在，上单调递增． （2）设，则， 依题对，恒成立，又， 令，则，所以单调递增，所以， ①当，即时，，在，上单调递增， 所以，所以， 又，所以； ②当，即时， 则存在唯一的，使，即， 当时，，当，时，， 即时，单调递减，，时，单调递增， 故，解得，从而， 又，而在，上单调递增， 所以，解得． 综上，实数的取值范围为． 3．（2021•湖南模拟）已知函数，． （1）证明：； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围； （3）求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）1 【详解】（1）证明：，证明，即证明，即证， 设，则， 当时，，当时，， 的最大值为（1），故， ； （2）解：时，恒成立，即， 由（1）知，当时，成立， 当时，显然时不成立， 综上，； （3）解：， 设，， 在上单调递增， ，（1），存在，，使得， 且时，，即，单调递减， 时，，即，单调递增， ， ，，则， ， 在上单调递增，， 则， ． 4．（2021•湖南模拟）已知函数． （1）求的最小值． （2）证明：对任意的，恒成立． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1）解：由题意可得的定义域为，且． 由，得；由，得． 则在上单调递减，在上单调递增． 故（1）． （2）证明：要证， 只需证，即证． 设，由（1）可知（1）． 设，则． 由，得；由，得， 则在上单调递增，在上单调递减． 故（2）， 因为与的最值不同时取得，所以，即． 故当时，不等式恒成立． 5．（2021•湖南模拟）已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若函数存在两个极值点，，且曲线在处的切线方程为，求使不等式成立的的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】解：（1）， 当时，恒成立，函数在上单调递减， 当时，易得当时，，当时，， 故在，上单调递增，在上单调递减， （2）， 所以，， 因为存在两个极值点，， 所以有两个不等正实数解， 即有两个不等式正根， 所以，解得， 因为，， 所以，， 所以曲线在处的切线方程为， 即， 令， ， 故在上单调递增，且， 故当时，，即， 故的范围． 6．（2021•永州二模）已知函数，． （1）讨论在，上的单调性； （2）当时，讨论在上的零点个数． 【答案】（1）见解析；（2）3个零点 【详解】解：（1），，，， 当时，恒成立，在，上单调递减； 当时，令，得， 若，即时，当，时，，为增函数； 若，即时，当，时，，单调递减， 当时，，单调递增． 综上可得，当时，在，上单调递减； 当时，在，上单调递减，在上单调递减； 当时，在，上单调递增． （2）当时，，， ，，， 所以，所以在，上存在一个零点， ，所以为的一个零点， ，，， 所以，所以在，上存在一个零点，， 综上所述，在上的有3个零点． 7．（2021•岳麓区校级二模）已知函数． （1）当时，求在，上的单调区间； （2）当时，讨论在，上的零点个数． 【答案】见解析 【详解】解：（1）当时，，，， ， 当在区间，上变化时，，的变化如下表： 0 0 0 0 增 极大值 减 极小值1 增 极大值 减 的单调增区间为，，的单调减区间为，． （2），，， 当时，在，上恒成立， ，时，， 在，上单调递增， 又，在，上没有零点； 当时，令，得， 由可知存在唯一使得， 当，时，，单调递增， 当，时，，单调递减， ，，， ①当，即时，在，上没有零点， ②当，即时，在，上有1个零点， 综上，当时，有1个零点，当时，没有零点． 8．（2021•湖南模拟）已知，． （Ⅰ）若恒成立，求实数的取值范围； （Ⅱ）确定在内的零点个数