专题14 圆锥曲线综合题-备战2022年新高考之湖南高考数学模拟题分类汇编

专题14 圆锥曲线压轴题 1．（2021•湖南模拟）已知动圆过定点，且与轴截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为． （1）求轨迹的方程． （2）设，过作不与轴垂直的直线交轨迹于，两点，直线，分别与直线相交于，两点，以线段为直径的圆为．判断点与圆的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）见解析 【详解】（1）设，因为动圆过定点且与轴截得的弦的长为4， 所以，所以，整理可得， 所以动圆圆心的轨迹的方程是； （2）设直线的方程为，代入，可得， 设点，则有，， 已知点，则， 直线的方程为， 令，可得， 所以点，同理可得，点， 则， 则有， 故，即， 所以点在圆上． 2．（2021•湖南模拟）已知双曲线的离心率为2，点为上位于第二象限的动点， （1）若点的坐标为，求双曲线的方程； （2）设，分别为双曲线的右顶点、左焦点，是否存在常数，使得．如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）存在常数满足： 【详解】（1）离心率，， 又，双曲线方程， 把点代入双曲线方程得，解得， 故双曲线的方程为． （2）由（1）知：双曲线方程，，， ①当直线的斜率不存在时，则， ，此时． ②当直线的斜率存在时，设，，，，其中，， 因为，故，故渐近线方程为， 所以， 又， 所以 ， ， 又，， 综上：存在常数满足：． 3．（2021•湖南模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，若△的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）设为椭圆上的动点，过原点作直线与椭圆分别交于点、（点不在直线上），求面积的最大值． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）由椭圆的定义可知三角形的周长为，所以， 又离心率，所以，则， 所以椭圆的方程为； （2）①当直线不与轴垂直时，设直线的方程为，，， 代入椭圆方程可得：， 则， 设与平行且与椭圆相切的直线方程为，代入椭圆方程可得： ，则△， 解得， 则点到的最大距离为两平行线间的距离，， 所以三角形的面积的最大值为， ②若直线与轴垂直时，则在长轴顶点时三角形的面积取得最大值， 且此时的面积为， 综上，三角形的面积的最大值为． 4．（2021•湖南模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，△面积的最大值是8． （1）求椭圆的标准方程． （2）若直线与椭圆交于，两点，点，若直线与直线关于轴对称，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若否，说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则解得．． 故椭圆的标准方程为． （2）设．，．联立，整理得． 则． 因为，所以， 因为直线与直线关于轴对称， 所以．即． 则，即， 从而直线的方程为，故直线过定点． 5．（2021•湖南模拟）已知椭圆的右焦点为，离心率． （1）若为椭圆上一动点，证明到的距离与到直线的距离之比为定值，并求出该定值； （2）设，过定点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴始终平分？若存在，出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点到点的距离与点到直线的距离之比为定值；（2）见解析 【详解】（1）设点，，则根据题意可得， ， ， 又点到直线的距离为：， ， 即得点到点的距离与点到直线的距离之比为定值． （2）由（1）可得，设，则，即得，因此可得椭圆的标准方程即为：， 根据题意，假设存在这样的一点，设直线的方程为：， 联立椭圆方程得到方程组：，结合题意， 设点，，，，则有， 因为轴平分，所以直线与的斜率互为相反数， 即得， 化简可得，， ， ， 即得存在点，使得轴始终平分． 6．（2021•湖南模拟）某城市决定在夹角为的两条道路、之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，千米，为的中点，为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域，其中，在椭圆上，且的倾斜角为，交于． （1）若千米，为了不破坏道路，求椭圆长半轴长的最大值； （2）若椭圆的离心率为，当线段长为何值时，游乐区域的面积最大？ 【答案】（1）；（2）当时，三角形的面积最大 【详解】（1）以为坐标原点，以所在的坐标为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意，，由，所以， 所以，，， 所以直线的方程为：， 设，则， 所以椭圆，当最大时直线与椭圆相切， 整理可得：， △，解得舍） 所以椭圆的长半轴长为； （2）因为，，， 所以， 所以椭圆的方程为：； 设，则，直线的方程为：， 联立，整理可得：， 设，，，则，， ， ， 要保证与半椭圆有交点，当位于时， 所以，当，即， 有最大值为1， 综上所述，当时，三角形的面积最大． 7．（2021•岳麓区校级二模）已知斜率为的直线交椭圆于，两点，的垂直平分线与椭圆交于，两点，点是线段的中点． （1）若，求直线的方程以及的取值范围； （2）不管怎么变化