专题12 立体几何综合题-备战2022年新高考之湖南高考数学模拟题分类汇编

专题12 立体几何综合题 1．（2021•湖南模拟）如图，已知直三棱柱的底面为正三角形，侧棱长都为4，、、分别在棱、、上，且，，，过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面． （1）证明：中截面是梯形； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的大小． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：由题意可知，截面，平面，且平面截面，所以， 同理可证，所以，即， 因为，，， 所以四边形和四边形均是梯形， 又，，分别为，的中点，所以，，，分别为，，，的中点， 故，分别为梯形和梯形的中位线， 故，，所以， 故中截面是梯形； （2）解：因为直三棱柱的底面为正三角形， 所以，平面， 以为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设， 则，， ，平面的一个法向量为， 因为直线与平面所成的角为， 所以，解得， 所以， 故， 设平面的法向量为，则有， 令，则，，故， 所以， 故平面与平面所成锐二面角的大小为． 2．（2021•湖南模拟）在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点，且点满足． （1）证明：平面； （2）当多面体的体积最大时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：分别取，的中点，，连接，，， 在梯形中，，且，，分别为，的中点， ，， ，且，则四边形为平行四边形，得， 又，为的中点，为的中点， 又为的中点，，可得， 又平面，平面， 平面； （2）解：在平面内，过作，交于， 平面平面，且平面平面， 平面，， 平面，则为四棱锥的高， 又底面的面积确定，要使多面体的体积最大，即最大，此时． 过点作，可知，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，0，，，，，，1，， ，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，得； 设为平面的一个法向量， 则，取，可得． ． 由图可知，二面角为钝角， 二面角的余弦值为． 3．（2021•湖南模拟）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，面面，、分别为、的中点． （1）证明：面面； （2）求面与面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：不妨设，因为，，由余弦定理得， 所以，于是， 取中点，连接，因为是平行四边形，所以， 又因为，所以， 是等边三角形，为中点，所以， 又因为平面面，平面面， 所以平面，又因为、平面， 所以、， 于是、、两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，1，，，0，， 设平面的法向量为，，． ，令，，，， 平面的法向量为，0，， 因为，所以面面． （2）解：由（1）知，0，，，1，， 设平面法向量为，，， ，令，，，， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 4．（2021•湖南模拟）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，． （1）证明：平面． （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）， 【详解】（1）证明：因为底面是菱形．所以， 因为，且，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，所以， 因为，所以，则， 因为，，平面， 所以平面． （2）解：以为坐标原点，射线，分别为，轴正半轴，过点的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，1，，，0，，，，，从而，， 设平面的法向量． 则，令，得， 易知平面的一个法向量，0，， 则，， 设二面角为，由图可知为锐角， 则，． 5．（2021•湖南三模）如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，且． （1）证明：平面； （2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明在梯形中，因为， 所以，连结，由余弦定理可求得， 因为，所以， 因为平面平面且交于， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，， 所以平面； （2）解：连结，由（1）可知，平面， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 因为平面，所以在平面内的射影为， 所以与平面所成的角为，即， 在△中，因为，所以， 则，0，，，0，，，，，2，， 所以，， 设平面的法向量为， 则有，即， 令，则，，故， 设平面的法向量为， 则有，即， 令，则，，故， 所以， 由图可知，二面角锐二面角， 故二面角的余弦值为． 6．（2021•湖南模拟）在如图所示的圆柱中，为圆的直径，，是的两个三等分点，，，都是圆柱的母线． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：连接，因为，，都是圆柱的母线，所以， 因为，是的两个三等分点，为圆的直径，所以， 又因为，，所以平面平面， 又因为平面，所以平面． （2）解：连接，因为为圆的直径，所以， 又因为平面，所以，， 所以、、两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，由题意