专题11 解三角形综合题-备战2022年新高考之湖南高考数学模拟题分类汇编

专题11 解三角形综合题 1．（2021•湖南模拟）在中，，，分别为内角，，的对边，． （1）求角； （2）若，为中点，在下列两个条件中任选一个，求的长度． 条件①：的面积且； 条件②：． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1）．．， 由正弦定理可得：，， ，，解得． （2）选择条件②，，． ，由正弦定理可得：． 在中，由余弦定理可得：， 解得． 2．（2021•湖南模拟）已知内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）， ，即， ， ． （2）由余弦定理得：， 为锐角三角形，且， ，可得，可得：， 解得， 所以面积． 3．（2021•湖南模拟）已知函数，，的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）在中角，，的对边分别为，，，若，求（B）的取值范围． 【答案】（1）；（2）（B）， 【详解】（1）由图象知，，， 图象过，，将点，代入，得， ，，，， ，， ． （2）（B）． 由，， 根据余弦定理，得， 当且仅当时取等号，， ，，，，， ，， （B），， 4．（2021•湖南模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求； （2）若，，求边上的中线的长． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题意可得， 因为， 所以，则， 因为， 所以． （2）因为． 所以． 因为， 所以， 由正弦定理可得，则， 由余弦定理可得， 则． 5．（2021•湖南模拟），，分别为内角，，的对边．已知，，． （1）若，求； （2）求． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以， 因为，所以，所以为锐角，可得， 由余弦定理可得． （2）由（1）可知，， 当时，，，可得； 当时，，，可得； 6．（2021•永州二模）已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）在中，角、、所对边分别为、、，若（A），，的面积为，求外接圆的面积． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）， ， ， ， （2）（A）， ， ，的面积，， ， 由余弦定理得，， 解得，， 由正弦定理得， 故，． 7．（2021•岳麓区校级二模）在中，内角，，的对边分别为，，，且．已知，，．求： （1）和的值； （2）的值． 【答案】（1），；（2） 【详解】（1），，， 可得，即为； ， 即为， 解得，或，， 由，可得，； （2）由余弦定理可得 ， ， ， 则． 8．（2021•湖南模拟）已知函数． （Ⅰ）当，时，分别求函数取得最大值和最小值时的值； （Ⅱ）设的内角，，的对应边分别是，，，且，，，求的值． 【答案】（Ⅰ）的最大值0，此时，函数的最小值，此时； （Ⅱ）或 【详解】， ， ， 因为，，所以，， 所以， 的最大值0，此时，函数的最小值，此时； ， 所以， 由为三角形内角得， 因为，， 由余弦定理得， 所以， 解得或 9．（2021•湖南模拟）在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，，求的值； （2）若角的平分线交于点，，，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为， 所以， 由余弦定理得， 即， 解得或（舍， （2）因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 由余弦定理得， 故， 所以， 的面积． 10．（2021•岳阳一模）中，角，，的对边分别为，，，． （1）求的大小； （2）若，且边上的中线长为，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为， 所以，可得， 所以， 因为， 所以，可得， 因为， 所以． （2）由，可得，① 在中，取的中点，连接， 因为，， 所以在中，，在中，， 所以，② 把①代入②，化简可得，解得，或（舍去）， 所以， 所以的面积． 11．（2021•开福区校级一模）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）从条件①，；条件②，这两个条件中选择一个作为已知，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1），由正弦定理． ，． ，； （2）条件①：； ，由（1）， 根据余弦定理得，即， 化简整理为，解得，（负根舍去）， 的面积； 条件②：； 由（1）， 根据正弦定理得，， ， ， 的面积． 2．（2021•益阳模拟）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，______？ 【答案】见解析 【详解】选择条件①： 由余弦定理知，， ， 又， ． 选择条件②： ，，， ， ． 选择条件③： 由正弦定理知，， ，， ，， 由余弦定理知，， ，与相矛盾， 故不存在该三角形． 13．（2021•新邵县模拟）如图，在平面四边形中，，，． （1）若，求四边形的面积；