专题10 数列综合题-备战2022年新高考之湖南高考数学模拟题分类汇编

专题10 数列综合题 1．（2021•湖南模拟）已知数列的前项和为，满足，． （1）求证：数列是等差数列； （2）若数列的公差不为0，数列中的部分项组成数列，，，，，恰为等比数列，其中，，，求数列的通项公式． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：由，得， 所以，即， 所以， 两式相减得， 所以． 所以数列成等差数列． （2）等差数列的公差，其子数列恰为等比数列， 其中，，，可得，，， 且有，即， 化为，则， 子数列为首项为，公比为的等比数列， 则，可得． 2．（2021•湖南模拟）已知正项数列的首项，其前项和为，且与的等比中项是． （1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式； （2）数列满足，其前项和为，求使得的的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2），2， 【详解】（1）证明：与的等比中项是，①， 又②， 由②①可得：， 是等差数列， 取，由①得：，解得：， ，， ； （2）解：由（1）可得：， 由得：， 不难发现当，2，3满足， 当时，设，则， ，即， 单调递增， （4）， 又当时，， 使得的的取值范围为，2，． 3．（2021•湖南模拟）已知是等差数列，其前项和为，若，，成等比数列且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）， 取，可得：，化为：，即． ，，成等比数列且， ，即， 化为：，， 解得，． ． （2）， 数列的前项和 ． ，恒成立， ． 实数的取值范围为，． 4．（2021•湖南模拟）已知正项数列的前项和为，． （1）证明：数列是等差数列． （2）若，求数列的前项和为． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：因为， 所以当时，， 即， 解得或（舍去）． 当时，， 则， 即， 因为， 所以，则， 即，， 所以数列是等差数列． （2）由（1）可得，， 则，， 从而， 故． 5．（2021•湖南模拟）已知是数列的前项和，，，． （1）证明：数列是等比数列； （2）求． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：，得， ， ，，． 数列是以公比为2，首项为4的等比数列． 故数列是等比数列得证． （2）解：由（1）得，则． ． 6．（2021•永州二模）给定三个条件：①，，成等比数列，②，③，从上述三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答． 问题：设公差不为零的等差数列的前项和为，且， （1）求数列的通项： （2）若，数列的前项和，求证：． 【答案】见解析 【详解】当选条件①时： （1）解：设数列的公差为， 由题设可得：，即，解得：， ； （2）证明：由（1）可得：， ． 当选条件②时： （1）解：由得：， 又，， 公差， ； （2）证明：由（1）可得：， ． 当选条件③时： （1）解：由得：， 又，， ； （2）证明：由（1）可得：， ． 7．（2021•湖南模拟）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，若数列满足，，且等式对任意成立． （1）求数列的通项公式； （2）将数列与的项相间排列构成新数列，，，，，，，，设该新数列为，求数列的通项公式和前项的和； （3）对于（2）中的数列前项和，若对任意都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由， 时，，解得． 时，， 化为：， 数列的各项均为正数，， ， 数列为等差数列，首项为1，公差为2． ． （2）数列满足，，且等式对任意成立． 数列是等比数列，首项为2，公比为． ． ，． ． （3），即， 时，的最小值， ， 时单调递减，． 时，（1）． ． 时，的最小值， 同理可得：． 综上可得：实数的取值范围是． 8．（2021•湖南模拟）已知数列的前项和满足． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）数列的前项和是，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【详解】（Ⅰ）数列的前项和满足①． 所以当时，解得， 当时，②， ①②得：， 整理得（首项符合通项）， 故． （Ⅱ）， 所以， 若存在，使得成立， 即成立， 故， 整理得， 只需满足即可， 设，当且仅当时，等号成立． 即． 9．（2021•湖南模拟）记为等差数列的前项和，已知，从以下三个条件中任选其中一个①；②；③． （1）求公差及的通项公式； （2）求． 【答案】见解析 【详解】（1）若选条件①： ，， 又， ，； 若选条件②： 由可得：， 又， ，； 若选条件③： 由可得：，解得：， ； （2）由（1）可得：， ， ． 10．（2021•岳阳一模）已知数列满足，且点，在函数的图象上． （1）求证：是等比数列，并求的通项公式： （2）若，数列的前项和为，求证：． 【答案】见解析 【详解】（1）证明：由点，在函数的图象上， 可得， 所以，即，