专题08 多选压轴题-备战2022年新高考之湖南高考数学模拟题分类汇编

专题08 多选压轴题 1．（2021•湖南模拟）已知数列，均为等差数列，且，，，则下列各数是数列中项的有　　 A．810 B．922 C．1147 D．1540 【答案】 【详解】由数列，均为等差数列， 可设． ，，， ，，， 解得，，， ． 时，，因此符合； 时，，因此符合； 时，，因此符合； 则下列各数是数列中项的有． 故选：． 2．（2021•湖南模拟）函数为定义在上的偶函数，且在，上单调递增，则　　 A．函数为奇函数 B．函数（2）有且只有3个零点 C．不等式（2）的解集为，， D．的解析式可能为 【答案】 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于，若，则，则为偶函数，错误； 对于，设函数（2），（2）（2）（2），（2）（2）（2）， 则在上有且只有2个零点，所以（2），在上有且只有3个零点，正确； 对于，因为（2）， 所以当时，（2），即，可得， 当时，（2），即（2），可得， 故（2）的解集为，，，正确； 对于，若，易得为偶函数， 其导数，则有． 则为上的增函数， 在，上，， 所以此函数还满足在，上单调递增，正确． 故选：． 3．（2021•湖南模拟）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是　　 A．该截角四面体的表面积为 B．该截角四面体的体积为 C．该截角四面体的外接球表面积为 D．该截角四面体中，二面角的余弦值为 【答案】 【详解】题中截角四面体由4个边长为的正三角形，4个边长为的正六边形构成， 故，故选项正确； 因为棱长为的正四面体的高， 所以，故选项正确‘ 因为截角四面体上下底面距离为， 所以， 所以， 即， 所以， 故，故选项正确； 二面角的余弦值应该为负值，故选项错误． 故选：． 4．（2021•湖南模拟）在棱长为的正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点，若球，的半径分别为，，则　　 A． B． C．这两个球的体积之和的最大值是 D．这两个球的表面积之和的最小值是 【答案】 【详解】由题意可得，， 则，从而， 故这两个球的体积之和为：， 因为，所以， 即，当且仅当时等号成立； 这两个球的表面积之和，当且仅当时等号成立．所以正确． 故选：． 5．（2021•湖南模拟）已知函数，若的最小正周期为，且对任意的，恒成立，下列说法正确的有　　 A． B．若，则 C．若，则 D．若在，上单调递减，则 【答案】 【详解】， 因为的最小正周期为，故，错误； 因为对任意的，恒成立， 所以为函数的最小值， 若，则，， 所以，， 所以， 解得，正确； 因为为函数的最小值， 所以为函数的最大值，即， 所以，正确； ，时，，， 因为在，上单调递增，所以在，上单调递减， 当，时，，， ，时，，， 因为在，上单调递减，所以在，上单调递增， 所以， 所以，正确． 故选：． 6．（2021•永州二模）抛物线的焦点为，是其上一动点，点，直线与抛物线相交于，两点，下列结论不正确的是　　 A．的最小值是2 B．动点到点 的距离最小值为3 C．存在直线，使得，两点关于直线对称 D．与抛物线分别相切于、两点的两条切线交于点，若直线过定点，则点在抛物线的准线上 【答案】 【详解】：当垂直于准线时，的值最小，由抛物线的性质：到焦点的距离等于到准线的距离可得：等于到准线的距离为，所以正确； ：设则，所以，当时，的最小值为，所以不正确； ：假设存在这样的直线，由题意设直线的方程为：，设，，，， 联立可得：， △，所以， 所以，， 所以，的中点为， 由题意可得在直线上，所以，解得，不满足，所以不正确； ：设，，，，，， 设直线的方程为：， 所以，切线方程分别为：，即， 同理可得：， 两式联立求出，可得， 因为，在抛物线上， ，整理可得：， 所以， 所以，不在准线上，所以不正确． 故选：． 7．（2021•湖南模拟）若实数，则下列不等式中一定成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【详解】令，则， 易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 因为，， 所以， 所以 同理， 所以， 所以，正确； 所以，正确； 令，， 则， 故在，上单调递减，， 所以， 故，正确； 对于，，结合选项的讨论，与的大小不确定，故错误． 故选：． 8．（2021•湖南模拟）已知球的半径为2，球心在大小为的二面角内，二面角的两个半平面分别截球面得两个圆，，若两圆，的公共弦的长为2，为的中点，四面体的体积为，则下列结论中正确的有　　 A．，，，四点共面 B． C． D．的最大值为 【答案】 【详解】因为公共弦在棱上，连结