（原创）人A版（2019）数学-必修第二册-第六章 平面向量及其应用-§4.3第3课时 余弦定理、正弦定理应用距离-距离问题

第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题 有这样一个问题:遥不可及的月球离地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，他们是用什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？ 我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等不同的方法来解决，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法却不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性. 上面介绍的问题就是用以前的方法所不能解决的. 今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.(重点、难点) 利用正弦定理、余弦定理解决实际生活中的距离问题, 培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用数学建模解决实际问题的能力。 探究点1 关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题 例1.设A,B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离.测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝51°， ∠ACB＝75°，求A，B两点间的距离（精确到0.1m）. 【解题关键】已知两角一边，可以用正弦定理解三角形. 【解析】根据正弦定理，得 答：A,B两点间的距离为65.7米. 探究点2 关于测量两个都不可到达的点之间的距离的问题 例2 如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A，B两点间距离的方法. A B 【解题关键】这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题. 首先需要构造三角形，所以需要确定C，D两点. 用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A，B两点间的距离. A B D C 【解析】测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在ΔADC和ΔBDC中，应用正弦定理得 计算出AC和BC后，再在ΔABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离 【变式训练】 为了测定河对岸两点A，B间的距离,在岸边选定1千米长的基线CD,并