（原创）人A版（2019）数学-必修第二册-第六章 平面向量及其应用-§3.5平面向量数量积的坐标表示

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 平面向量夹角、数量积以及求向量的模主要培养学生的数学运算、数学建模、逻辑推理能力。 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.2.掌握向量垂直的坐标表示的条件及平面内两点间的距离公式. 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系， 以及能解决一些简单问题． 探究点1 平面向量数量积的坐标表示 提示: 平面向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算. 提示: 向量的模 设 是非零向量， 能否用向量的坐标表示两向量垂直？ 提示: 【即时训练】 D 例1.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断△ABC的形状，并给出证明. 两个非零向量的数量积是否为零是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一 A(1,2) B(2,3) C(-2,5) x 0 y A(1,2) 【变式练习】 已知A(1，2), B(4, 0), C(8，6), D(5，8)，则四 边形ABCD的形状是 . 矩形 探究点2 平面向量夹角的坐标表示 提示: 【即时训练】 A 【解析】 【变式练习】 例3.用向量法证明两角差的余弦公式 B A O y x D C A B 【解析】 平面向量数量积的坐标表示 两向量的数量积 a·b =x1x2+y1y2 两向量垂直 a·b =0<=>x1x2+y1y2=0 若a =(x,y)，则|a|= 若A(x1,y1),B(x2,y2)，则两点A、B间的距离为 设a, b都是非零向量，a=(x1,y1), b=(x2,y2), a与b的夹角θ，则 1.数学抽象：数量积的坐标运算； 2.逻辑推理：平面向量的夹角公 式，模长公式，垂直关系等； 3.数学运算：根据已知信息求数量 积、夹角、模长等,根据向量垂 直求参数； 核心知识 核心素养 方法总结 易错提醒 利用cos θ＝ 来判断角θ时 ①cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π； ②cos θ>0有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.　 核心素养 数量积运算 ①先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算； ②先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．