1.5&1.6平方差公式和完全平方公式(精讲)-【重要笔记】2021-2022学年七年级数学下学期重要考点精讲精练(北师大版)

1.5&1.6平方差公式和完全平方公式 平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 题型1：平方差公式与整式计算 1.（1）（﹣2﹣y2）（2﹣y2）．（2）计算：（2x+3y）（2x﹣3y）． 【分析】根据平方差公式求出即可， 【解答】（1）解：原式＝（﹣y2）2﹣22 ＝y4﹣4． （2）解：（2x+3y）（2x﹣3y）＝（2x）2﹣（3y）2＝4x2﹣9y2． 【变式1-1】（1）（﹣2x+3y）（﹣3y﹣2x） （2）（a+2b）（a﹣2b）+（2b）2 【解答】解：（1）原式＝（﹣2x）2﹣（3y）2＝4x2﹣9y2． （2）原式＝a2﹣4b2+4b2＝a2 【变式1-2】运用乘法公式计算： （1）（2x+3y）2（2x﹣3y）2； （2）（x+1）（x﹣1）（x2+1）（x4+1）． 【分析】（1）原式逆用积的乘方运算法则变形，再利用平方差公式及完全平方公式化简即可得到结果； （2）原式利用平方差公式计算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝（4x2﹣9y2）2 ＝16x4﹣72x2y2+81y4； （2）原式＝（x2﹣1）（x2+1）（x4+1） ＝（x4﹣1）（x4+1） ＝x8﹣1． 题型2：平方差公式与简便运算 2.用平方差公式计算： （1）30.8×29.2； （2）20192﹣2018×2020． 【分析】（1）把原式写成（30+0.8）×（30﹣0.8），再根据平方差公式计算即可； （2）把原式写成20192﹣（2019﹣1）×（2019+1），再根据平方差公式计算即可． 【解答】解：（1）30.8×29.2 ＝（30+0.8）×（30﹣0.8） ＝302﹣0.82 ＝900﹣0.64 ＝899.36； （2）20192﹣2018×2020 ＝20192﹣（2019﹣1）×（2019+1） ＝20192﹣20192+1 ＝1 【变式2-1】用简便方法计算： （1）﹣23.7×+×1.3﹣2.6×； （2）2020+20202﹣20212． 【分析】（1）根据实数运算法则进行运算即可； （2）利用平方差公式根据实数运算法则求解即可． 【解答】解：（1）原式＝×（﹣23.7+1.3﹣2.6） ＝×（﹣25） ＝﹣20． （2）原式＝2020﹣（20212﹣20202） ＝2020﹣（2021+2020）×（2021﹣2020） ＝2020﹣2021﹣2020 ＝﹣2021 【变式2-2】利用平方差公式计算： （1）73×67； （2）99.8×100.2． 【分析】（1）73＝70+3，67＝70﹣3，所以73×67可以写成70与3的和与差的积，利用平方差公式即可计算； （2）99.8＝100﹣0.2，100.2＝100+0.2，99.8×100.2可以写成100与0.2的和与差的积，利用平方差公式计算． 【解答】解：（1）原式＝（70+3）×（70﹣3） ＝702﹣32 ＝4900﹣9 ＝4891； （2）原式＝（100﹣0.2）×（100+0.2） ＝1002﹣0.22 ＝10000﹣0.04 ＝9999.96． 题型3：利用面积法验证平方差公式 3.（1）如图1，在边长为a的正方形中，画出两个长方形阴影，则阴影部分的面积是 　a2﹣b2　（写成两数平方差的形式）． （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它面积是 　（a+b）（a﹣b）　（写成多项式乘法的形式）； （3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　（用式子表达）； （4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7． 【分析】（1）由图（1）可得其阴影部分的面积为a2﹣b2； （2）由图（2）可得其面积为（a+b）（a﹣b）； （3）由（1）、（2）小题可得乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （4）由乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，可得10.3×9.7＝（10+0.3）（10﹣0.3），即可计算最后结果． 【解答】解：（1）∵图（1）中大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴其阴影部分的面积为a2﹣b2， 故答案为：a2﹣b2； （2）由题意得重新拼成的长方形长为a+b，宽为a﹣b， ∴它的面积是（a+b）（a﹣