平面向量专题：三角形“四心”问题-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）

平面向量专题：三角形“四心”问题 一、三角形的“重心” 1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成 三角形中线向量式： 2、重心的性质： （1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 （2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 （3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，，则一定经过三角形的重心 二、三角形的“垂心” 1、垂心的定义：高的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 4、奔驰定理推论：，. 三、三角形的“内心” 1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 2、常见内心向量式：是的内心， （1）（或） 其中，，分别是的三边、、的长， （2），，则一定经过三角形的内心。 四、三角形的“外心” 1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心 到三角形三个顶点的距离相等 2、常用外心向量式：是的外心， 1、 2、 3、动点满足，， 则动点的轨迹一定通过的外心. 4、若，则是的外心. 题型一 三角形的重心 【例1】已知是所在平面上的一点，若，则是的( )． A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式1-1】已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满 ，，则的轨迹一定通过的( ). A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式1-2】是所在平面内一点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的（ ） A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心 【变式1-3】为平面内一定点，该平面内一动点满足 ，则的 一定属于集合． A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【变式1-4】已知是所在平面上的一点，若（其中为平面上任意一点），则点是的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【变式1-5】已知，，是平面上不共线的三点，为坐标原点，动点满足 ，，则点的轨迹一定经过（ ） A.的内心 B.的垂心 C.的重心 D.的中心 【变式1-6】已知和点满足，若存在实数使得成立，则m＝ . 题型二 三角形的垂心 【例2】是所在平面上一点，若，则是的( ) A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式2-1】已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足 ，，则动点的轨迹一定通过的( )． A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式2-2】若为所在平面内一点，且，则点是的( ) A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式2-3】是非等边的外心，是平面内的一点且，则是的 A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【变式2-4】已知是所在平面内一点，且满足，则点（ ） A．在边的高所在的直线上 B．在平分线所在的直线上 C．在边的中线所在的直线上 D．是的外心 题型三 三角形的内心 【例3】已知为所在平面上的一点，且，，．若，则是的( ) A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式3-1】若点为所在平面内的一点，满足，则点为的（ ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重点 【变式3-2】已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足 ，，则动点的轨迹一定通过的( )． A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式3-3】若在所在的平面内：，则是的（ ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【变式3-4】平面内及一点满足，，则点是的 A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【变式3-5】已知点为所在平面内的一点，满足（其中P是所在平面内任意的一点），则点为的（ ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重点 【变式3-6】为所在平面内一点，，，为的角， 若，则点为的 心． 题型四 三角形的外心 【例4】已知是所在平面