7.1 复数的概念-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）

7.1 复数的概念 一、复数的有关概念 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位， 满足，实部是，虚部是. 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1.我们把i叫作虚数单位． 3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． 4、复数集 ①定义：全体复数所成的集合． ②表示：通常用大写字母C表示． 【注意】复数概念说明： （1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式， 其中0＝0＋0i. （2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi. （3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 二、复数的分类 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下： . 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 三、复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， 我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 四、复数的集合意义 1、复平面 当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数； 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 五、共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi. 示例：z＝2＋3i的共轭复数是＝2－3i. 【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝， 也就是，任一实数的共轭复数是它本身． （2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等． 题型一 复数的概念及分类 【例1】给出下列说法： ①复数2＋3i的虚部是3i； ②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数； ③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数； ④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数． 其中错误说法的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】若x、y∈R，则“x＝0”是“x＋yi为纯虚数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【变式1-3】实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是： （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ 【变式1-4】实数m取什么值时，复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i分别是： （1）纯虚数； （2）实数． 【变式1-5】已知z1＝(－4a＋1)＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R.若z1＞z2，则a的取值集合为________． 【变式1-6】复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( ) A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b C．a＞0且a≠b D．a≤0 题型二 复数相等 【例2】已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值. 【变式2-1】若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 017i＝2－bi，则a2＋bi＝( ) A．2 017＋2i B．2 017＋4i C．2＋2 017i D．4－2 017i 【变式2-2】复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为( ) A．1 B．1或－4 C．－4 D．0或－4 【变式2-3】已知＋(x2－2x－3)i＝0(x∈R)，求x的值． 【变式2-4】若log2(x2－3x－2)＋ilog