专题14 圆锥曲线综合题-备战2022年新高考数学模拟试题分类汇编（江苏专用）

专题14 圆锥曲线压轴题 1．（2021•江苏一模）设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点． （1）若点为椭圆的上顶点，求直线的方程； （2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 2．（2021•南京二模）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点． （1）求动点的轨迹的方程； （2）设曲线与轴的两个交点分别为，，为直线上的动点，且不在轴上，与的另一个交点为，与的另一个交点为，证明：的周长为定值． 3．（2021•江苏一模）已知点，在椭圆上，点在第一象限，为坐标原点，且． （1）若，，直线的方程为，求直线的斜率； （2）若是等腰三角形（点，，按顺时针排列），求的最大值． 4．（2021•江苏一模）已知为坐标系原点，椭圆的右焦点为点，右准线为直线． （1）过点的直线交椭圆于，两个不同点，且以线段为直径的圆经过原点，求该直线的方程； （2）已知直线上有且只有一个点到的距离与到直线的距离之比为．直线与直线交于点，过作轴的垂线，交直线于点．求证：为定值． 5．（2021•江苏二模）已知直线交抛物线于，两点． （1）设直线与轴的交点为．若，求实数的值； （2）若点，在抛物线上，且关于直线对称，求证：，，，四点共圆． 6．（2021•江苏二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且． （1）求的方程； （2）斜率为的直线与交于，两点，点关于原点的对称点为．若直线，的斜率存在且分别为，，证明：为定值． 7．（2021•日照模拟）某城市决定在夹角为的两条道路、之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，千米，为的中点，为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域，其中，在椭圆上，且的倾斜角为，交于． （1）若千米，为了不破坏道路，求椭圆长半轴长的最大值； （2）若椭圆的离心率为，当线段长为何值时，游乐区域的面积最大？ 8．（2021•衡水模拟）已知为坐标原点，椭圆，点，，为上的动点，，，三点共线，直线，的斜率分别为，． （1）证明：； （2）当直线过点时，求的最小值； （3）若，证明：为定值． 9．（2021•江苏模拟）已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆在第一象限交于点，为坐标原点，三角形的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）若的三个顶点，，都在椭圆上，且为的重心，判断的面积是否为定值，并说明理由． 10．（2021•江苏模拟）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，焦点到相应准线的距离是3． （1）求，的值； （2）已知、是椭圆上关于原点对称的两点，在轴的上方，，连接、并分别延长交椭圆于、两点，证明：直线过定点． 11．（2021•苏州模拟）如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交抛物线于点（异于原点，抛物线上点处的切线交轴于点，设线段的中点为，连结线段交于点． （1）求的值； （2）过点作圆的切线交于另一点，设直线的斜率为，证明：为定值． 12．（2021•扬州一模）已知椭圆的离心率为，右准线方程为． （1）求椭圆方程； （2），、为椭圆的左、右顶点，过作斜率为的直线交椭圆于，连接并延长交椭圆于，记直线的斜率为，若，求直线的方程． 13．（2021•淮安模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为，右准线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线分别交双曲线的左、右两支于点，，交双曲线的两条渐近线于点，在轴左侧）． ①是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由； ②记和的面积分别为，，求的取值范围． 14．（2021•如皋市模拟）已知椭圆的离心率为，且经过点，过点且斜率为的直线与抛物线的交于点，，且为中点． （1）求椭圆的标准方程及点的纵坐标； （2）若过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求四边形的面积的最大值及此时抛物线的方程． 15．（2021•江苏模拟）已知椭圆的上、下顶点分别为，．为直线上的动点，当点位于点时，的面积，椭圆上任意一点到椭圆的左焦点的最短距离为． （1）求椭圆的方程； （2）连接，，直线，分别交椭圆于，（异于点，两点，证明：直线过定点． 16．（2021•南京三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，经过，的直线与交于，两点． （1）若，求长度的最小值； （2）设以为直径的圆交轴于，两点，问是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．（2021•常州一模）已知，是椭圆的左、右焦点，曲线的焦点恰好也是，为坐标原点，过椭圆的左焦点作与轴垂直的直线交椭圆于，，且的面积为3． （1）求椭圆的方程； （2）过作直线交于，，交于，，且与的面积相等，求直线的斜率． 18．（2021•江苏模拟）郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状，造型优美，空中俯瞰犹如盛开的梅花绽放在中原大地，是现代建筑与艺术的完美结合．双曲抛物面又称马鞍面，其在笛卡儿坐标系中的方程与在平面直角坐