4.2 等差数列及其前n项和 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)

等差数列及其前项和 1定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，记为. 代数形式：是常数) Eg：是公差为的等差数列； 是公差为的等差数列； 不是等差数列. 2 等差中项 若成等差数列，则称与的等差中项，则. 3通项公式 等差数列的首项为，公差为，则. (由定义与累加法可得) 4 前项和 等差数列的首项为，公差为，则其前项和为 (由倒序相加法可证) 5 证明一个数列是等差数列的方法 ① 定义法： 是常数，是等差数列； ② 中项法： 是等差数列； ③ 通项公式法： 是常数) 是等差数列； ④ 前项和公式法： 是常数)是等差数列； 注：方法③④不可以在解答题里直接使用. 6 基本性质(其中 若数列是首项为，公差为的等差数列，它具有以下性质： 若, 则； ； ； 下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列； 数列(是常数)是公差是的等差数列； 若数列也是等差数列，则数列(为非零常数)也是等差数列； 成等差数列； . 【题型一】等差数列的基本运算 【典题1】已知为等差数列，若，则 . 【解析】(用到通项公式，用前项和公式) 设等差数列的公差为， 由，得，（得到的方程组） 解得，所以． 【点拨】 ①首项、公差是等差数列的“基本量”，若知道它们数列其他量就可求.故提示我们，题中用上通项公式，对用上前项和. ② 若已知中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，实质是利用方程思想建立方程组进行求解. 【典题2】 已知等差数列的公差不为，其前项和为，且成等差数列，则下列四个选项中正确的有(　　) A． B． C． D．最小 【解析】设等差数列的公差为， 则， (把化为关于的式子) 由题意可知：， 即，解得，(得到的关系) ， 对于选项，，项错误， 对于选项，，选项正确， 对于选项，，选项正确． 对于选项， 方法一 ，(利用二次函数性质) 若，则或最小；若，则或最大．选项错误. 方法二 由可知， 若，则数列是增函数，且，从第项开始为正数，即或最小； 若，则数列是减函数，且，从第项开始为负数，即或最大． 故选：． 【点拨】 ① 本题充分利用到了方程思想和数列的基本量，把题中的用通项公式表示，用前项和表示，都转化为基本量. ② 求等差数列前项和的最值的方法 (1)求出，再利用二次函数的性质； (2)求出，知晓数列的单调性判断前项和是求最小值还是最大值，求使得(或)成立时最大的值. 【典题3】 设为正项等差数列的公差，若，则(　　) A． B． C． D． 【解析】由题设知：，解得：，(得到的范围) 对于，正确； 对于，正确； 对于， ，错误． (中均是把涉及的量转化为的式子进行判断) 对于 ， (此处由于，不可能等于，则取不到等号) 正确；故选：． 【点拨】对于不等式的处理，也可以使用基本量的方法求解. 巩固练习 1 (★) 已知数列中，，．若为等差数列，则 . 【答案】 【解析】设等差数列的公差为， 则，即，解得． 则，解得． 2 (★) 等差数列满足，，则 . 【答案】 【解析】设等差数列的公差为， 由，得，解得， 所以． 3 (★) 【多选题】记为等差数列的前项和，若，，则下列正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】 【解析】设等差数列的公差为．，， ， 解得：， 故选：． 4 (★★) 【多选题】设数列是等差数列，是其前项和，且，则(　　) A． B． C．或为的最大值 D． 【答案】 【解析】且， ，化为：， 可得． 或为的最大值，． 故选：． 5 (★★) 【多选题】等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是(　　) A． B．当或时，取最大值 C． D． 【答案】 【解析】等差数列的前项和为，，， 求得． 故，故正确； 该数列的前项和，它的最值，还跟的值有关， 不能推出当或时，取最大值，故错误． ，故有，故错误； 由于， 故 ，故正确， 故选：． 6 (★★) 【多选题】已知数列是首项为，公差为的等差数列，则下列判断正确的是(　　) A． B．若，则 C．可能为 D．可能成等差数列 【答案】 【解析】由已知可得数列的通项公式为， 当时，1，解得故正确； 若，则，所以，故B错误； 若，则，，故正确； 若成等差数列，则， 即，解得，故可能成等差数列，故正确． 故选：． 7 (★★) 【多选题】已知无穷等差数列的公差，且是中的三项，则下列结论正确的是(　　) A．的最大值是 B． C．一定是奇数 D．一定是数列中的项 【答案】 【解析】无穷等差数列的公差，且是中的三项