4.1 数列的概念与简单的表示 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)

数列的概念与简单的表示 1数列的相关概念 定义：数列是按照一定次序排列的一列数； 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项常称为首项； 数列的表示：数列的一般形式可以写成，简记. 2 数列的分类 分类标准 名称 含义 例子 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的大小 递增数列 递减数列 常数列 每项都相等的数列 摆动数列 每项的大小忽大忽小的数列 3数列与函数的关系 数列就是定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数，其图象是一系列有限或无限孤立的点. PS 日后研究数列的性质可以从函数的角度出发，比如单调性，最值等. 4通项公式 如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. Eg 数列，…，其通项公式可以是等. 注：与是不同的概念，表示数列，而表示的是数列的第项； 数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值. 5 递推公式 若已知数列的第一项(或前项)，且任一项和它的前一项(或前项)间的关系可以用一公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式. Eg (初始条件)，(递推关系)； . 6 与的关系 若为数列的前项和，即 则. 【题型一】对数列的相关概念的理解 【典题1】下列有关数列的说法正确的是(　　) ①数列可以表示成； ②数列与数列是同一数列； ③数列的第项是； ④数列中的每一项都与它的序号有关． A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【解析】对于①，是集合，不是数列，故选项①错误； 对于②，数列是有序的，故数列与数列是不同的数列，故选项②错误； 对于③，数列的第项是，故选项③正确； 对于④，由数列的定义可知，数列中的每一项都与它的序号有关，故选项④正确． 故选：． 【点拨】注意集合与数列的在“顺序、异同性、表示方法”上的区别. 数列是有序性，集合是无序性的；集合是互异性的，但数列不作要求. 【典题2】 数列为从开始的非负整数有限数列，表示在这个数列中出现的次数．那么数列的项数不可能是 (　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】表示在这个数列中出现的次数．(理解这个是关键) 当时，满足条件，此时数列有项，故排除； 当时，满足条件，此时数列有项，故排除； 当时，满足条件，此时数列有项，故排除； 故选：． 【点拨】本题是选择题，优先考虑排除法. 【典题3】求数列是增减性. 【解析】方法一 作差法 ， 所以，故数列是增数列. 方法二 作商法 ， 又，所以，故数列是增数列. 方法三 函数思想 ， 在递增，也是随着的增大而增大， 故数列是增数列. 或，由在递增也可得结论. 【点拨】求证数列单调性，常用方法有三： 作差法，比较与的大小； 作商法，比较与1的大小，此时要注意的正负； 视通项公式为函数解析式，用函数单调性的方法处理，此时要注意的取值范围是正整数. 【典题4】已知数列满足，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是 . 【解析】数列是单调递减数列， 则， (利用减数列的概念，相当于得到一个恒成立问题，可想到分类参数法求解， 由于的存在，需要对的奇偶性进行分类讨论) 当为偶数时，， 由于为递增数列，则数列的最小值， ，即， 当为奇数时，， 由于为递减数列，则数列的最大值， ，， 综上所述实数的取值范围是． 【点拨】本题充分考核了数列单调性的运用，其中也满满的“函数思想”，遇到类似式子进行奇偶性分类讨论是常用手段. 【典题5】若数列中的最大项是第项，求. 【解析】令， 假设，(作商法) 则，即， 又是整数，即时，；当时，；所以最大． 【点拨】本题通过讨论数列的增减性，从而得到最大值，其中就有函数思想的影子. 巩固练习 1 (★) 下列叙述正确的是(　　) A．数列与是同一数列 B．数列的通项公式是 C．是常数列 D．是递增数列，也是无穷数列 【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于、数列与数列中顺序不同，不是同一数列，故错误； 对于、数列的通项公式是，故错误； 对于、常数列的通项为，则不是常数列，故错误； 对于、是递增数列，也是无穷数列，故正确． 故选：． 2(★) 对于项数都为的数列和，记为中的最小值，给出下列命题： ①若数列的前项依次为，则； ②若数列是递减数列，则数列也是递减数列； ③数列可能是先递减后递增的数列； ④若数列是递增数列，则数列是常数列． 其中，是真命题的为(　　) A．①④ B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】 D 【解析】①由数列的前项依次为， 可知