专题2 求数列的前n项和 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)

求数列的前项和 求数列的前项和是数列中常考的一大专题，其方法有公式法、倒序相加(乘)法、分组求和法与裂项相消法等，在掌握这些方法的时候要注意方法的适用范围，其中的计算量有些大，技巧性也较强，需要多加以理解与总结. 【方法一】公式法 若已知数列是等差或等比数列，求其前项和可直接使用对应的公式；若求和的式子对应某些公式，也可以直接使用.常见如下 等差数列求和公式 等比数列求和公式 . 【典题1】求和式，先思考它是几项之和再求和. 【解析】和式相当于数列的和， 显然它是首项，公比的等比数列，设前项和为， 故， 而和式最后一项是，是第项， 故和式只有项而已， 则 (切勿想当然和式等于) . 【点拨】求和式时特别要注意确定项数，以第一个数为首项，判断最后一项为第几项(第项、第项？)便可. 【典题2】已知等比数列前项和为，且． 求数列的通项公式；若，求数列的前项和． 【解析】(1)由于 ①， 当时，， 当时， ②， ①－②得，即 数列为等比数列， ，又，解得． 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以． (2)，所以， (遇到绝对值，则可利用去掉绝对值，则求前项和时要注意分类讨论) 当时， ． (是等差数列，可由前项和公式得) 当时， ， ． 【点拨】当确保数列为等差数列或等比数列，便可直接使用对应的前项和公式，这需要明确等差数列通项公式形如，等比数列通项公式形如. 巩固练习 1 (★★) 求和式. 【答案】 【解析】. 2 (★★) 已知是等差数列，公差，，且成等比数列，求数列的前项和． 【答案】 【解析】数列是等差数列，公差，，且成等比数列， ， 解得或舍)， ， ， 数列是首项为，公比为的等比数列， ． 3 (★★) 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为， 求等差数列的通项公式；若公差，求数列的前项和． 【答案】(1) 或 (2) 【解析】(1)由，得,所以， 又得，即， 所以或， 即或； 当公差时，， 1)当时，，； 设数列的前项和为，则， 2)当时，， 所以数列的前项和，． 4 (★★★) 设是公比大于的等比数列，为数列的前项和．已知，且，，构成等差数列． 求数列的等差数列． 令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】由已知得：，解得， 设数列的公比为，由，可得，， 又，可知，即， 解得，， 由题意得，， ， 故数列的通项为． 由于，， 由得， ， 又为常数， 为等差数列， ， 故，其中． 【方法二】 倒序相加(乘)法 1 对于某个数列，若满足，则求前项和可使用倒序相加法. 具体解法：设 ① 把①反序可得 ② 由①②得. 2 对于某个数列，若满足，则求前项积可使用倒序相乘法.具体解法类同倒序相加法. 【典题1】 设，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得的值为　 　． 【解析】设， 则． 所以，，，， ． 【点拨】课本中推导等差数列前项和的公式的方法就是倒序相加法. 【典题2】 求的值 【解析】设…………. ① 将①式右边反序得 …………..② ①②得 . 【点拨】对于某个数列，若满足，则可使用倒序相加法. 【典题3】 设函数的图象上两点、，若，且点的横坐标为． (1)求证：点的纵坐标为定值，并求出这个定值； (2)求. 【解析】(1)证：， 是的中点 ． ．． 解：由知，，， (即横坐标之和为，则对应的坐标之和为，则有，想到倒序相加法) 由， ， 相加得 ， ， ． 巩固练习 1 (★★) 设等差数列，公差为，求证：的前项和. 【解析】 ① 倒序得： ② ①+②得： 又 . 2(★★) 设，求的值为　 　. 【答案】11 【解析】用倒序相加法： 令 ① 则也有 ② 由 可得：， 于是由①②两式相加得， 所以； 3(★★) 设函数，求的值　　． 【答案】 【解析】函数， ， ． 【方法三】 分组求和法 1 若数列中通项公式，可分成两个数列，之和，则数列的前项和等于两个数列，的前项和的和. 2 常见的是等差等比形式 3 等比数列的通项公式形如，等差数列的通项公式形如. 【典题1】求数列的前项和. 【解析】设，(其中可知数列是等比数列，数列是等差数列) (把等比项和等差项分别放在一组) (确定好首项和公差、公比) . 【典题2】已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【解析】(1)等差数列的前项和为，设公差为， ，