专题1 求数列的通项公式 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)

求数列的通项公式 求数列的通项公式是高考常考的一专题，形式多样，解题方法很多，常见的有累加法、累乘法、待定系数法、迭代法、取倒数法等，课外延申的还有不动点法等，不管什么方法，一定要理解解题方法的本质，清楚每种方法的适用范围，避免出现“看得懂，模仿做还行，独立思考就含糊”的情况. 【方法一】观察法 适用范围：给出数列的前几项，猜测通项公式； 方法：通过观察，得知数列各项之间数值的关系(比如数值之间的差或商成一定规律)或数值结构特点(比如数值的正负，分式，平方)从而求得通项公式. 【典题1】写出下列数列的一个通项公式 ，，，； ，，，； ； ； ． 【解析】分解结构法：注意数值的结构，看其是否可视为两个或多个数列组合而成. 数列每项可分解成符号和项的绝对值相乘得到， 序号 符号 绝对值 项 故； 数列，，，每项可分解成分子和分母相除得到， 序号 分子 分母 项 故； 变形法：数列本身特点不明显，但通过加减乘除某个数之类方式变形成“规律感更强”的数列. 数列中若每项减去，则变成， 这些数都是完全平方数，易想到数列的通项是， 则原数列只需要在这基础上加回便可，即. (4)数列中若每项加上，则变成，再每项乘以，变成 其中，，， 则其通项， 要求原数列的通项公式， 则“逆回去”，除以再减可得. 分奇偶项 数列相邻每项之间没什么关系，若分奇偶性来看，就简单多了， 可得奇数项为可得．偶数项为可得． 则该数列通项公式. 【点拨】观察法主要是依靠“数感”，以上讲解的“分解结构法”“变形法”可有助于观察，它对后面讲到的利用数学归纳法求解通项公式有用. 巩固练习 1 (★) 数列…的一个通项公式为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，数列的符号正负项间隔出现，故符号为，且每项为， 故数列的一个通项公式为•， 故选：． 2 (★)下列可作为数列的通项公式的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，数列 其奇数项为，可以看作，偶数项为，可以看作； 其通项公式可以为：； 故选：． 3(★★) 写出以下各数列的一个通项公式． (1)； (2)； (3)； (4，…； (5)． 【答案】 ． 【方法二】与的关系公式法 适用范围：若得知或与的关系式，求数列通项公式. 方法：利用与的关系，注意分类讨论，最后确定是否满足. 【典题1】已知数列的前项和，满足关系.求的通项公式. 【解析】， 当时， 当时，满足， (确定是否满足上式) . (最后等式才由变成) 【典题2】 已知数列的前项和为，，满足下列条件 ①；②点在函数的图象上； 求数列的通项及前项和. 【解析】由题意， 当时， 整理，得， (因式分解) 又，所以 即， 又，数列是首项为，公比为的等差数列， ，． 【典题3】已知中，，求. 【解析】当时， 两边同除以，得 (该变式技巧了解下) (上两题是“消去”得到数列递推公式，该题“消去”得到数列的递推公式) 数列为等差数列，公差为，首项为. ，解得， (不要漏了大前提) 不满足， . 【点拨】当题中得知或与的关系式，则可利用公式，消去或，得到对应的递推公式进而求解，但最后都要注意确定是否满足 . 巩固练习 1 (★) 已知数列的前项和满足，求数列的通项公式. 【答案】 【解析】当时， 当时，不满足， . 2 (★★) 已知无穷数列的前项和，并且，求的通项公式. 【答案】 【解析】，当时， ，，又， 是以首项为，公比为的等比数列， . 3 (★★) 已知数列的前项和，满足，．求和数列的通项公式； 【答案】 【解析】(1)在中， 当时，． 由得，， 两式相减得，， 所以， 当时，有， 所以 ， 所以， 所以， 故， 又也都符合上式， 所以． 4(★★★) 设数列的前项和为，已知，，，求数列的通项公式； 【答案】 【解析】由可得， ， ，，满足， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故. 【方法三】累加法 适用范围：递推式为 . 方法：得到，利用累加的形式求出. 【典题1】已知数列满足，求. 【解析】由条件知： 时 ， 把以上个式子累加得， ， 也满足， . 【典题2】已知数列满足，求数列的通项公式. 【解析】由得 时, 而， . 巩固练习 1 (★) 数列满足，则　 　． 【答案】3 【解析】数列