5.4 导数与函数的极值、最值 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)

导数与函数的极值、最值 1 极值的概念 若在点附近的左侧，右侧则称为函数的极小值点，称为函数的极小值； 若在点附近的左侧，右侧，则称为函数的极大值点，称为函数的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． PS： ① 把函数图象看成一座“山脉”，极大值就是“山峰”，极小值就是“山谷”， 如下图； ② 极值是“函数值”，极值点是“自变量值”，如下图有极大值和，极小值和，极大值点和，极小值点和. ③ 对于极值还有特别强调一下 Eg 设是函数的极值点，则下列说法准确的是( ) A. 必有 B.不存在 C. 或不存在 D.存在但可能不为 解析：函数， ， 但时，时，； 故根据极值的定义，不是函数的极值点，这个从函数图象也很容易知道. 又如函数， 当时，； 当时，； 所以在处取到极值，但在导数不存在；故选. 总结 ① 若可导，且是的解； ② 若是的解，. ③ 定义很重要. 2 求函数的极值的方法 解方程，当时： (1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； (2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 3 函数在上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数在内的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【题型一】极值的概念 【典题1】 【多选题】设函数的定义域为是的极大值点，以下结论错误的是( 　) A． B．是的极小值点 C．是的极小值点 D．是的极小值点 【解析】对于，极大值并不一定是最大值，故错误； 对于，是关于轴对称的图象，应是的极大值点，故错误； 对于，是关于轴对称的图象，应是－的极小值点，而，故错误； 对于，相当于关于原点对称的图象，是的极小值点故正确． 故选：． 【点拨】 ① 熟悉函数图象的变换：相当于关于轴的对称图象，相当于关于轴的对称图象，相当于关于原点对称的对称图象； ② 数形结合是个好方法. 【典题2】 如图，已知直线与曲线相切于两点，则有( ) A．个极大值点，个极小值点 B．个零点 C．个零点 D．个极小值点，无极大值点 【解析】由原图可知，，设原图中的两切点横坐标为． 再在同一坐标系中做出与的图象如图： 由图可知，与没有公共点，故函数F(x)没有零点． 直线与、分别交于点，则的函数值可以理解为线段长度； 由图可知：当时，单调递减；当单调递增； 当时，单调递减；当时，单调递增． 故是函数的极小值点，是的极大值点． 故选：． 【点拨】 ① 分析函数极值可先分析函数单调性. ② 的函数值可以理解为线段长度这样更好由图象得到函数单调性. 【典题3】 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是 . 【解析】因为有两个不同的极值点， 所以在有个不同的零点， 所以在有个不同的零点， （二次函数零点分布问题，数形结合） 所以解得． 【点拨】 ① 对于可导函数有个极值，则导函数有个零点； ② 在求解过程中进行转化一定要注意等价转化，本题中不要 若有两个不同的极值点有个不同的零点，那就错，它缺了“定义域”的考量. 巩固练习 1(★) 已知函数的导函数为函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．的极小值为极大值为 D．的极大值为极小值为 【答案】D 【解析】当x∈(－∞,－2)时,x－1<0,由图象可得g(x)=(x－1)f'(x)<0,则f'(x)>0,f(x)为增函数； 当x∈(－2,1)时,x－1<0,由图象可得g(x)=(x－1)f'(x)>0,则f'(x)<0,f(x)为减函数； 当x∈(1,2)时,x－1>0,由图象可得g(x)=(x－1)f'(x)<0,则f'(x)<0,f(x)为减函数； 当x∈(2,+∞)时,x－1>0,由图象可得g(x)=(x－1)f'(x)>0,则f'(x)>0,f(x)为增函数, 所以f(x)的极大值为f(－2),极小值为f(2), 结合选项可知,只有选项D正确． 故选：D． 2(★)已知函数的极值点为则所在的区间为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 令g(x)则g(x)单调递减且g(1)=1>0,g(2)ln2<0, 由零点判定定理可得,x0∈(1,2)． 故选：C． 3(★★)若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是 . 【答案】a>0,且a≠2 【解析】因为f(x)=x2－(a+2)x+alnx既有极大值又有极小值, 且 所以f′(x)=0有两个不相等的正实数解, 所以且解得a>0,且a≠2． 4(★★) 若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是 . 【答案】, 【解析】, 则