5.2 导数的几何意义 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)

导数的几何意义 1 导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义是曲线处的切线的斜率，即：曲线在点处的切线的斜率， 切线的方程为． 2 过点与在点处的区别 曲线在点处的切线指的是为切点的切线，如图一； 过点的切线是指切线过点，点是否切点均可，切线可多条，如图二. 【题型一】在某点处的切线 【典题1】 函数的图象如图所示，是函数的导函数，下列数值排序正确的是(　　) A． B． C． D． 【解析】根据题意，设为函数的上的点， 则为函数在处切线的斜率， 为函数在处切线的斜率， 为直线的斜率， 结合图象分析可得，即； 故选：． 【点拨】，直线越靠近轴，斜率越大. 【典题2】 若直线是曲线的切线，则　 　． 【解析】依题意得 设切点 则由导数的几何意义可得 ① 点在切线上 ② 点在曲线上 ③ 由①，②, ③联立得，解得或 的值为或． 【点拨】由于本题不知道切点，由待定系数法的想法，设切点，它即在切线上又在曲线上，又由导数的几何意义得到了关于的方程组！ 【典题3】 已知，是曲线上一点，则的最小值为 . 【解析】的导数为． 设，可得过的切线的斜率为， 当垂直于切线时，取得最小值， 可得，即， 因为单调递增，且， 所以，即， 所以的最小值为． 【点拨】当垂直切线时，取得最小值；如图，. 巩固练习 1(★) 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的增长越来越快，所以函数在该点的斜率越来越大， ∴f′(x1)<k<f′(x2)． 故选：B． 2(★) 曲线在点处的切线方程为　 　． 【答案】 4x－y－2=0 【解析】由y=x3+lnx+1，得， ∴曲线在(1，2)处的斜率k=y'|x=1=4， ∴曲线在点(1，2)处的切线方程为y－2=4(x－1)， 即4x－y－2=0． 3(★★) 曲线在处的切线的倾斜角为，则　 　． 【答案】 【解析】由y=lnx，得y'， ∴曲线y=lnx在x=1处的切线斜率k=2， ∵曲线y=lnx在x=1处的切线的倾斜角为α， ∴tanα=2，∴sin2α=2sinαcosα． 故答案为：． 4(★★★) 已知函数的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，其中，，则　 　． 【答案】 【解析】∵y=ex，∴y′=ex， ∴y=ex在点(ak，eak)处的切线方程是：y－eak=eak(x－ak)， 整理，得eakx－y－akeak+eak=0， ∵切线与x轴交点的横坐标为ak+1， ∴ak+1=ak－1， ∴{an}是首项为a1=0，公差d=－1的等差数列， ∴a1+a3+a5=0－2－4=－6． 故答案为：－6． 5(★★★) 若函数的图象上存在互相垂直的切线，则实数的值为　 　． 【答案】 0 【解析】 ， 假设函数的图象上存在互相垂直的切线， 不妨设在与处的切线互相垂直 则 因为的值必然存在，即方程必然有解，所以 判别式 所以 解得 或 由于，所以有， 或，且 所以变为：所以 故答案为：0 【题型二】过某点处的切线 【典题1】 已知曲线，曲线过点的切线方程. 【解析】 设切点为，则切线斜率， 切线方程为 切线过点 解得或， 则切线方程为或. 【点拨】 ① 本题点不一定是切点，故可先设切点，利用“在某点处的切线”方法求出含参数的切线方程，再把点代入求出，进而容易得到切线方程; ② 如何求解方程？ 方法一 拆项分组因式分解 或 方法二 待定系数法 先由方程特点猜出有一个解是,则可知是的因式， 设，把右式展开易得， 则 或 【典题2】 若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是 . 【解析】 设切点为， 过点P的切线方程为， 代入点坐标化简为， 即这个方程有三个不等根即可， 令，求导得到， 函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故得到. 答案为. 【点拨】过某点作曲线的切线可以有多条，先求在曲线上一点处的切线方程，把问题转化为方程解的个数. 巩固练习 1(★★) 已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为 . 【答案】 【解析】设切点坐标为(a，lna)， ∵y=lnx，∴y′，切线的斜率是， 切线的方程为y－lna(x－a)， 将(0，0)代入可得lna=1，∴a=e， ∴切线的斜率是； 2 (★★) 过点做曲线的切线，最多有 条. 【答案】 3 【解析】设切点为P(x0，x03－3x0)，f′(x0)=3x02－3， 则切线方程y－x03+3x0=(3x02－3)(x－x0)， 代入A(2，1)得，2x03－6x02+7=0． 令y=2x03－6x02+7=0，则由