第19讲 导数的运算（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第二册）

第19讲 导数的运算(核心考点讲与练) 一、基本初等函数的导数 【例1】（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）有一机器人的运动方程为，(是时间，是位移)，则该机器人在时刻时的瞬时速度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 对运动方程求导，根据导数意义即速度求得在时的导数值即可. 【详解】 由题知，， 当时，，即速度为7. 故选：B 【例2】（2021·黑龙江牡丹江·高二阶段练习）下列求导运算不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 结合导数的基本运算直接判断即可. 【详解】 对ABC判断可知，运算正确，对D，，故D错误. 故选：D 【例3】（2022·河南·郏县第一高级中学高二开学考试（文））下列结论正确的个数为（　　） ①若y＝ln2，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则．A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】 根据求导公式依次对选项求导即可. 【详解】 ①：由，得，故①错误； ②：由，得，所以，故②正确； ③：由，得，故③错误； ④：由，得，故④正确； 故选：C 【例4】（2022·福建南平·高二期末）曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 求得，根据导数的几何意义即可求得切线方程. 【详解】 因为，故可得，故， 故曲线在点处的切线方程为：， 整理得：. 故选：. 【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 的最小值可转化为函数图像上的点与直线上的点的距离的最小值. 【详解】 设,, 点在函数上，点在函数上， 表示曲线上点到直线的点距离. 由，可得，与直线平行的直线的斜率为， 令，得，所以切点的坐标为， 切点到直线的距离. 的最小值为. 故选：B 【例6】（2020·上海·高一专题练习）设函数和都在区间上有定义，若对的任意子区间，总有上的实数和，使得不等式成立，则称是在区间上的甲函数，是在区间上的乙函数.已知，那么的乙函数______. 【答案】2x-3 【分析】 由题设中函数的定义知表示过两点，，，的直线的斜率，由导数的定义可知，满足题设条件的是在区间上的导数，由此可求． 【详解】 由题得表示过两点，，，的直线的斜率， 无限接近时，即在点的切线斜率， 此时，近似相等，且等于此斜率， 所以为的导数（即的值是在点的斜率）， 由，知 故答案为：． 【点睛】 关键点睛：解答本题的关键是审题时能联想到导数的定义，当然，能顺利联想到导数的定义必须理解导数的定义才行，由此可以看出，对基础知识掌握的水平能做题的影响，数学知识学习分为几个层次：了解掌握理解灵活运用，学习时要注意理解知识的内涵． 【例7】（2021·天津市红桥区教师发展中心高二期末）已知函数，若，则___________． 【答案】 【分析】 先求导，得到，解出答案. 【详解】 ，则，故. 故答案为：0 【例8】（2022·广东梅州·高二期末）某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为，则当s时，弹簧振子的瞬时速度为_________ mm/s. 【答案】0 【分析】 根据题意得，进而根据导数几何意义求解时的导函数值即可得答案. 【详解】 解：因为， 所以求导得， 所以根据导数的几何意义得该振子在时的瞬时速度为, 故答案为：. 【例9】（2022·青海海东·高二期末（文））已知曲线与曲线有相同的切线，则________． 【答案】0 【分析】 设切点分别为，．利用导数的几何意义可得，则 ．由，，计算可得，进而求得点坐标代入方程即可求得结果. 【详解】 设切点分别为，． 由题意可得，则，即． 因为，，所以，即，解得， 所以，则，解得． 故答案为：0 【例10】（2022·吉林白山·高三期末（理））若曲线在点P（e，1）处的切线也是曲线的一条切线，则a=___________. 【答案】## 【分析】 利用导数的几何意义可得曲线在点P(e,1)处的切线方程为，然后再利用导数的几何意义即求. 【详解】 因为，所以，则， 所以曲线在点P(e,1)处的切线方程为， 设与相切于点， 因为，所以 则，，可得， 从而. 故答案为：. 【例11】（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】 根据基本初等函数函数的导数公式计算可得； (1)解：因为，所以； (2)解：因为，所以； (3)解：因为，所以； (4)解：因为，所以； (5)解：因为，所以； (6)解：因为，所以； 【例12】（2021·全国·高二课时练习）求满足下列