课后巩固（七）二项式定理(word练习)-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版2019)

[对应学生用书P84] 1．在(－)6的二项展开式中，x2的系数为(　　) A．－　　　B．　　　C．－　　　D． C　[Tr＋1＝C·()6－r·(－)r＝C··(－2)r·x3－r.由3－r＝2，得r＝1，此时x2的系数为－.] 2．使(3x＋)n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B　[Tr＋1＝C(3x)n－r()r＝C3n－rxn－r，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立．] 3．将(3＋x)n的展开式按照x的升幂排列，若倒数第三项的系数是90，则n的值是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B　[依题意得C·32＝90，即C＝10.解得n＝5.] 4．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　) A．12 B．16 C．20 D．24 A　[方法一：(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为1×C＋2C＝12. 方法二：因为(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，所以x3的系数为1×4＋2×4＝12.] 5．若(x2－a)的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　) A． B． C．1 D．2 D　[依题意，注意到的展开式的通项公式是Tr＋1＝Cx10－r＝Cx10－2r， 的展开式中含x4(当r＝3时)、x6(当r＝2时)项的系数分别为C、C， 因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2.] 6．(2021·北京卷)展开式中常数项为__________． －4　[的展开式的通项Tr＋1＝C(x3)4－r＝(－1)rCx12－4r，令r＝3得常数项为T4＝(－1)3C＝－4.] 7．(2020·全国卷Ⅲ)的展开式中常数项是________．(用数字作答) 240　[Tr＋1＝C(x2)6－r＝C2rx12－3r. 令12－3r＝0，得r＝4.故常数项为C24＝240.] 8．(1－ax)(1＋x)6的展开式中，x3项的系数为－10，则实数________． 2　[∵(1－ax)(1＋x)6＝(1＋x)6－ax(1＋x)6， (1＋x)6的展开式通项为Tk＋1＝Cxk， ∴ax(1＋x)6的展开式通项为 Tr＋1＝axCxr＝aCxr＋1， 令可得 由题意可得C－aC＝20－15a＝－10，解得a＝2.] 9．已知(1＋mx)n(m∈R，n∈N*)的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80. (1)求m，n的值； (2)求(1＋mx)n(1－x)6展开式中含x2项的系数． 解　(1)由题意，得2n＝32，即n＝5. 通项公式为Tr＋1＝Cmrxr(r＝0，1，…，5)， 当r＝3时，系数为C m3. 所以Cm3＝80.解得m＝2. (2)即求(1＋2x)5(1－x)6展开式中含x2项的系数． (1＋2x)5(1－x)6＝[C＋C(2x)1＋C(2x)2＋…](C－Cx＋Cx2＋…)＝(1＋10x＋40x2＋…)(1－6x＋15x2＋…)， 所以展开式中含x2项的系数为 1×15＋10×(－6)＋40×1＝－5. 10．已知(＋)n的展开式中偶数项二项式系数和比(1＋x)2n展开式中奇数项二项式系数和小120. (1)求(1＋x)2n展开式中二项式系数最大的项． (2)设(＋)n展开式中的常数项为p，展开式中所有项系数的和为q，求p＋q. 解　(1)由题意可得2n－1＋120＝22n－1，即2n＋240＝22n. 由此得(2n－16)(2n＋15)＝0，故2n＝16.解得n＝4. 故(1＋x)2n＝(1＋x)8，展开式中二项式系数最大的项为T5＝Cx4＝70x4. (2)(＋)n＝(＋)4，其二项展开式的通项Tr＋1＝C()4－r()r＝Cx2－r. 令2－r＝0，可得r＝2.故常数项p＝C＝6. 令x＝1，可得展开式中所有项系数的和为q＝24＝16. 所以p＋q＝22. 11．(2021·湖南高二月考)(多选题)(a－x)(1＋x)6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则下列结论中正确的是(　　) A．a＝3 B．展开式中常数项为3 C．展开式中x4的系数为30 D．展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64 ABD　[设(a－x)(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7， 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝64(a－ 1) ，① 令x＝－1，则a0－a1＋a2－…－a7＝0.② 由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝64(a－1)， 所以2×64＝64(a－1)，解得a＝3， 即(3－x)(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7