第一章 三角形的证明（章总结+测试）-八年级下册数学【优+讲解】教材（北师大版）

八年级数学(下)·B 优+饼解教材 本(章总结 BENZHANGZONGJIE 知识体系金构建 定义:有两边相等的三角形 定理:等边对等角 性质」定理的推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互 相重合 等腰三角形 判定/:有两个角相等的三角形是等腰三角形 定理:等角对等边 性质/等边三角形的三条边都相等 等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60° 等边三角形 三条边都相等的三角形 判定三个角都相等的三角形 有一个角等于60°的等腰三角形 全等的判定公理:SSS,SAS,ASA,AAS,HL 定义:有一个角等于90°的三角形 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于 直角三角形性质 斜边的一半 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 定义:有一个角等于90°的三角形 角形的 判定勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这 个三角形是直角三角形 性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 性质定理的逆定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂 线段的垂直平分线 直平分线上 角形垂直平分线定理:三角形三条边的垂直平分线交于一点,并且这 点到三个顶点的距离相等 性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线性质定理的逆定理:在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 三角形角平分线定理:三角形的三条角平分线交于一点并且这一点到三角形三条边的距 离相等 反证法:先假设命题的结论不成立,然后推出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果, 从而证明命题的结论一定成立 互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个 命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题 互逆定理:如果一个真命题的逆命题经过证明也是真命题,那么它也是一个定理,其中一个定理称为 另一定理的逆定理 优佛教材 第一章三角形的证明 (专题整合巧拓展 综合知识专题 ONGHEZHISHIZHUAN 专题一等腰三角形的综合应用 心解题总结 专题突破:有关等腰三角形的题目,通常 对于尺规作图与等腰三角形相结合的题 及线段的垂直平分线或者角的平分线,解决 ,既要注意尺规作图得到的结论,又要注意 这类问题既要考虑等腰三角形的性质与判定,等腰三角形的性质与判定的综合应用,关键是 也要考虑线段垂直平分线和角平分线的性质掌握等边对等角、等角对等边的判定定理 与判定 【例1】已知等腰△ABC的顶角∠A=即变式训练 36°(如图1-1) 1.如图1-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90 (1)作底角∠ABC的平分线 ∠CAB=30°,用尺规作图,用两种方法把它 分成两个三角形,且要求其中一个三角形是 BD,交AC于点D(用尺规作图 等腰三角形.(保留作图痕迹,不要求写作法 不写作法,但保留作图痕迹) 和证明 (2)通过计算说明△ABD和 △BDC都是等腰三角形 解析:(1)首先以点B为圆图1-1 心,任意长为半径画弧,两弧交AB,BC于M 图1-3 N两点;再分别以点M,N为圆心,以大于2 1专题二全等三角形的综合应用 专题突破:有关全等三角形的题目,有时 MN长为半径画弧,两孤交于一点O,画射线涉及线段的垂直平分线或者角的平分线,解决 这类问题既要考虑全等三角形的性质与判定, O交AC于点D.(2)根据三角形内角和为也要考虑线段垂直平分线和角平分线的性质 180°计算出∠ABC,∠C,∠CDB,∠ABD 与判定 DBC的度数,再根据等角对等边可证出 【例2】如图1 AB∥CD,以点A为圆 解:(1)如图1-2,BD即为 心,小于AC长为半径画 所求 弧,分别交 E,F两点,再分别以点 (2) A=36°, D E,F为圆心,大于EF ABC=∠C=(180 长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP,交 CD于点M. 图1-2 ∵BD平分∠ABC (1)若∠ACD=114°,求∠MAB的度数 ∠ABD=∠DBC=1×722=36. (2)若CN⊥AM,垂足为点N,求证 △ACN≌△M ∠CDB=180—360-72°=72° 解析:(1)根据AB∥CD,∠ACD=114°, 得出∠CAB=66°,再根据AM是∠CAB的平 ∠A=∠ABD=36°, 分线,即可得出∠MAB的度数;(2)根据 CAM=∠MAB,∠MAB=∠CMA,得 ∴AD=DB,BD=BC ∠CAM=∠CMA,再根据CN⊥AD,CN △ABD和△BDC都是等腰三角形 CN,即可得出△ACN≌△MCN 八年级数学(下)·B 优+饼解教材 解:(1)∵AB∥CD 行驶.已知AC=10km ACD+∠CAB=180 A=30°,∠B=45°,