专题2.2 平行线与拐点问题-2021-2022学年七年级数学下册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题2.2 平行线与拐点问题 1．如图，，是的平分线，是的平分线，、交于点． （1）若，，求、的度数； （2）若，求出的度数； （3）探究、与之间存在怎样的数量关系．（直接写出结果） 【解答】解：（1）作，如图， ， ， ，， ， 是的平分线， ， ； 同理可得； （2），， ， ， ， ， ； （3）与（1）的证明方法一样可得， 而，， ，， ， ， ． 2．如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足． （1）试问：，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线，之间一动点，因此需对点的位置进行分类讨论． ①如图1，当点在的左侧时，猜想，，满足的数量关系，并说明理由； ②如图2，当点在的右侧时，直接写出，，满足的数量关系为 　　． （2）如图3，，分别平分，，且点在左侧． ①若，则的度数为 　　； ②猜想与的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）①如图1，当点在的左侧时，过点作，则， ，， ， 当点在的右侧时，过点作，则， ，， ， 即，； 故答案为：； （2）①，则， 由（1）知， ，分别平分和， ，， 故， 故答案为； ②． 理由：如图3，，分别平分和， 设：，， 则， ， 即：． 3．如图，，定点，分别在直线，上，平行线，之间有一动点． （1）如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为　　，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为　　． （2）如图3，当，平分时，求证：平分； （3）如图4，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则　　； ②猜想与的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）如图1，过点作， ， ， ， ， ， ； 如图2，当点在的右侧时，过点作， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：，； （2）， ， ， ， ， 平分， ， ， 平分； （3）①， ， ，分别平分和， ，， ； 故答案为：； ②，分别平分和， ，， 则， ， ． 4．已知，线段分别与、相交于点、． （1）如图①，当，时，求的度数； （2）如图②，当点在线段上运动时（不包括、两点），、与之间有怎样的数量？试证明你的结论； （3）如图③，当点在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系． 【解答】（1）解：过作， ， ， ，当点在线段上运动时， ，， ， ； （2）， 证明：过作， ， ， ，， ； （3）解：①当在线段的延长线上运动时，不成立，关系式是：， 理由是：过作， ， ， ，， ， 即； ②当点在线段的延长线上运动时，新的相等关系为． 理由：设与相交于，则． ， ， ． ③当点在线段上运动时，成立，关系式为， 证明：过作， ， ， ，， ； 综上所述，当点在直线上运动时，（2）中的结论不一定成立． 5．如图①，，点在直线与之间，连接、，则有． 【感知】证明：如图①，过点作，则有． 【探究】当点在如图②的位置时，其他条件不变，试说明． 【应用】如图③，在图②的条件下，延长线段交直线于点，已知，，则的度数为　　．（请直接写出答案） 【解答】【感知】证明：如图①， 过点作， ， ， ， ， ， ， （等量代换）， 【探究】证明：过点作，如图②所示： ， ， ，， ； 【应用】解：同【探究】得：， ， ， 故答案为：． 6．已知：，截线分别交、于点、． （1）如图①，点在线段上，设，，且满足，求的度数； （2）如图②，在（1）的条件下，射线平分，且交线段的延长线于点；请写出与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，当点在射线上运动时，与的平分线交于点，则与的比值为 　　（直接写出答案）． 【解答】解：（1）， ，， ， ， ， ； （2）． 理由如下：过点作直线， 平分， 设； ， ， ； ， 即； （3）如图3，设与交于点， 平分，平分， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 与的比值为， 故答案为：． 7．已知，，点为射线上一点． （1）如图1，若，，则　　． （2）如图2，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论； （3）如图3，当点在延长线上时，平分，且，，，求的度数． 【解答】解：（1）过作， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）． 理由如下： 过作， ， ， ，， ，， ； （3）， 设，则， ，， 又，， ， 平分， ， ， ， 即，解得， ， ． 8．如图1，直线，直线、及直线把平面分成（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六个部分．点是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六个部分中的任何一个部分． 当动点落在第（1）部分时，可得：，请阅读下面的解答过程，并在相应的括号内填注理由 解：过点作，如图2 因为（已知），（所作）， 所