6.2.4 向量的数量积(透课堂)-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列（人教A版2019必修第二册）

2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册) 6.2.4　向量的数量积 【知识导学】 知识点一　两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 知识点二　向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 知识点三　投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 知识点四　平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 知识点五　平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 【考题透析】 透析题组一：向量的数量积的定义和几何意义 1．（2021·广东广州·高一期末）已知是三个非零平面向量，则下列叙述正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2021·广东·东莞市光明中学高一阶段练习）下列命题中，不正确的是（ ） A． B． C． D．与共线 3．（2021·江西·宜春九中高一阶段练习）已知，且，则在方向上的投影为（ ） A． B．1 C． D． 透析题组二：数量积的运算律 4． （2021·全国·高一课时练习）已知、、不共线的非零向量，则下列等式中不成立的是（ ）． A． B． C． D． 5．（2021·吉林·延边二中高一阶段练习）给出下列命题，其中错误的命题的个数是（ ） ①若，则是钝角 ②若且，则 ③若，则可知 ④若是等边三角形，则与的夹角为 A．4 B．3 C．2 D．1 6．（2021·江西·九江一中高一阶段练习）已知向量、满足， 与的夹角为，则（　　） A． B． C． D．、 透析题组三：数量积和模相互求解问题 7．（2022·内蒙古包头·高一期末）平面内不共线的三个向量，，两两所成的角相等，且，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2021·全国·高一课时练习）已知，则（ ） A． B． C．13 D．21 9．（2021·江苏省外国语学校高一期中）已知向量，满足，，，则向量与的夹角的余弦值等于（ ）． A． B． C． D． 透析题组四：向量夹角的计算 10．（2021·河北·武安市第一中学高一阶段练习）已知向量，其中，且，则与的夹角是（ ） A． B． C． D． 11．（2021·河北·张家口市第一中学高一阶段练习）已知非零向量，满足，，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 12．（2021·山西·太原市第五十六中学校高一阶段练习）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是（ ） A． B． C． D． 透析题组五：垂直关系的向量表示 13．（2021·安徽·宣城市励志中学高一阶段练习）非零向量，满足：，，则与夹角的大小为（ ） A． B． C． D． 14．（2021·广东·肇庆市高要区第二中学高一阶段练习）若非零向量满足，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 15．（2021·浙江浙江·高一期末）设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数，无最小值，则以下说法正确的是（ ） A．若和确定，则唯一确定 B．若和确定，则有最大值 C．若确定，则 D．若不确定，则与的大小关系不确定 透析题型六：已知模求参数问题 16．（2021·江苏·高一期中）设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 17．（2021·江苏·吴江中学高一阶段练习）设为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，的最小值为1．（ ） A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定 C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定 18．（2022·全国·高一专题练习）若