第17讲 数学归纳法（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第一册）

第17讲 数学归纳法(核心考点讲与练) 一、数学归纳法的定义 定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当(，≥)时命题成立，证明当命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法. 二、数学归纳法的基本思想 基本思想：数学归纳法是完全归纳法的一种.它是一种归纳——演绎的推理方法.数学归纳法的理论依据是“自然数归纳原理”：设A(n)表示关于自然数n的一命题，如果满足条件：(i)A（1）正确；(ii)假设A(k)成立，推断A(k+1)也成立、那么A(n)对一切自然数n都成立.其中第(i)是验证，它是证明的基础；第(ii)是以假设A(k)成立，通过演绎推理，推证出A(k+1)也正确.即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当(，≥)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出 当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立. 三、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： 1.证明：当取第一个值结论正确； 2.假设：假设当(，≥)时结论正确，证明当时结论也正确. 3.得出结论：由1，2可知，命题对于从开始的所有正整数都正确. <注意点> 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉. 用数学归纳法证题时，两步缺一不可；（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设， 二凑目标. <重点> 数学归纳法大致可分为两个步骤，第一步，验证命题对某个自然数n=成立，（n∈N），一般取=1，第二步假设n=k（k∈N，k≥）的时候，命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.至此就可以得到结论，命题对于和比大的所有自然数都成立. 如果将证明数学命题用建筑高楼来比喻，这两步中，第一部可以看作是奠基部分，第二步可以看作是建设部分，整个命题的基础就在第一步，如果忽略第一步，或者是第一步错误的话，那么不管第二步的证明有多巧妙和精彩，都如大厦建在沙子上一样，是不稳固的；而整个命题的递推过程在于第二步，如果递推过程出现了问题或者瑕疵，那么就如同建筑中的“烂尾楼”一般，得不到一个圆满的结局.由此可见，这两步都非常重要，缺一不可. 注：数学归纳法是证明有递推性或可转化为递推性命题的有效手段，它的思路明晰，形式优美，但也要看到它的局限性，那就是并不具有普遍性，在无法转化为递推形式的命题中，数学归纳法一般是没有用武之地的. 四、用数学归纳法证题的类型： 1.用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式； 对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性． 2.用数学归纳法证明与正整数有关的整除性问题； 用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。 3.用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题； 数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等． 4.用数学归纳法证明与正整数有关的不等式. 用数学归纳法证明一些与n有关的不等式时，推导“n＝k＋1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等． 5.用数学归纳法证明与数列有关的命题. 由有限个特殊事例进行归纳、猜想、，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要． 一、对数学归纳法的两个步骤的认识 【例1】 对一切n∈N*，试比较2n与n2的大小． 【思路点拨】在证明与正整数有关的命题时，主要侧重考查“起点”是否为1这个易误点。 【解析】 当n=1时，21＞12，即2n>n2； 当n=2时，22=22，即2n=n2； 当n=3时，23＜32，即2n＜n2； 当n=4时，24=42，即2n=n2； 当n=5时，25＞52，即2n＞n2； 当n=6时，26＞62，即2n＞n2； …… 猜想：当n≥5，2n＞n2．下面用数学归纳法证明猜想成立． （1）当n=5时，由上可知猜想成立． （2）假设当n=k（k≥5）时，命题成立，即2n＞n2．那么当n=k+1时，2k+1=2·2k＞2k2=k2+k2＞k2+(2k+1)=(k+1)2，即当n=k+1时，猜想成立． 根据（1）、（2）可知，当n≥5时，2n＞n2都成立． 所以n=2或4时，