6.1 空间向量及其运算-【固本培优系列】2021-2022学年高二数学下学期同步精品培优讲义(苏教版2019选择性必修第二册)

第六章 空间向量与立体几何 6.1空间向量及其运算 【必备知识】 知识点1:空间向量的基本概念 1.空间向量的定义 在空间中,我们把具有大小和方面的量叫做空间向量. 注:平面向量是在二维平面中,而空间向量是在三维的空间当中. 2.向量的长度(模) 向量的大小叫做向量的长度或模,如图,其模记为 或 . 3.特殊向量 长度为0的向量叫做零向量,记为0 . 模长为1的向量称为单位向量. 方向相同且模相等的向量称为相等向量. 与向量 长度相等而方向相反的向量,称为 的相反向量,记为 . 【典例1】下列说法正确的是（ ） A．任一空间向量与它的相反向量都不相等 B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】C 【详解】 A：零向量与它的相反向量相等，故错误； B：将空间中的所有单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球面，故错误； C：空间向量与平面向量一样，既有模又有方向，不能比较大小，故正确； D：一个非零空间向量与它的相反向量不相等，但它们的模相等，故错误； 故选：C 知识点2:空间向量的线性运算 (1)空间向量的加减法运算法则 与平面向量的运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为: (2)空间向量的加法运算满足交换律及结合律: 交换律: . 结合律: . (3)空间向量的数乘运算 ①空间向量的数乘运算的定义 与平面向量一样,实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量,称为向量的数乘运算. ② 的方向和长度 当 时, 与向量 方向相同; 当 时, 与向量 方向相反. 的长度是 的长度的 倍. 即 . ③空间向量的数乘运算满足分配律及结合律： 分配律: . 结合律: . 其中 . 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.向量 与 平行,记作 .我们规定零向量与任意向量共线.平面向量共线的充要条件在空间也是成立的,即有 共线向量定理: 对空间任意两个向量 与 共线的充要条件是存在实数 ,使 . 【典例2】如图，在空间四边形ABCD中，E是线段AB的中点， ，连接EF，CE，AF，BF．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) ，图见解析； (2) ，图见解析； (3) ，图见解析； 【解析】 (1) ，如图： (2) ，如图： (3)因为E是线段AB的中点， ，所以 ， ， 所以 ，如图： 知识点3:空间向量的数量积 1.空间向量的夹角 (1)夹角的定义 已知两个非零向量 ,在空间任取一点 ,作 ,则 叫做向量 的夹角,记作 记作 . (2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角的取值范围是 .特别地,当 时,两向量同向共线;当 时,两向量反向共线;当 时,两向量垂直,记作 . 2. 空间向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量 ,则 叫做向量 的数量积,记作 ,即 . 规定:零向量与任何向量的数量积为0. (2)投影向量 对于空间任意两个非零向量 ,设向量 ,过点 作 ,垂足为 .上述由向量 得到向量 的变换称为向量 向向量 投影,向量 称为向量 在向量 上的投影向量.(如下图) (3)数量积的几何意义:数量积 等于 的长度| |与 在 的方向上的投影 的乘积,或 的长度| |与 在 的方向上的投影 的乘积. (4)向量数量积的性质 ①由 可得向量自身的数量积就是其模的平方. ② 的充要条件是 为非零向量). ③两个非零向量 的夹角可由 的数量积表示 . ④对于任意向量 ,总有 ,并且只有当 时,等号成立. (5)向量数量积的运算律 数乘结合律: 交换律: ; 分配律: 【典例3】已知空间向量 ， ， ， ，则 （ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由 可得， ， 所以 ， 化简得 ， 所以 ， 故选：D 【典例4】已知向量 ， ， 是两两垂直的单位向量，且 ， 则 （ ）． A．15 B．3 C． D．5 【答案】B 【详解】 向量 ， ， 是两两垂直的单位向量，且 ， ， EMBED Equation.DSMT4 . 故选：B 知识点4:共面向量定理 1.共面向量定理 如果两个向量 不共线,那么向量 与向量 共面的充要条件是存在有序实数组 ,使得 结论:已知 不共线,若 ,且 ,则 , , 三点共线. 2.共面向量定理的推论 空间中的一点 与不共线的三点 , , 共面的充要条