6.2.4 向量的数量积（第1课时）-【优课堂】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)

6.2.4 向量的数量积 第1课时 向量的数量积 情境导入 情境1：在物理课中我们学过功的概念，那么右图中力对小车所做的功是？ 前面我们学习了向量的加、减运算.类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？ 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功，其中是与的夹角. 功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念. 新知探索 因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念. 已知两个非零向量(如图)，是平面上的任意一点，作，，则叫做向量与的夹角. 显然，当时，与同向； 当时，与反向. 如果与的夹角是，我们说与垂直，记作. 的夹角记作<，>. 新知探索 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关. 注：(1)是两个向量的数量积，书写时要严格区分.符号“”是一种运算符号，既不能省略，也不能用“×”代替. (2)是一个实数，而不是向量. 例析 例9.已知，，与的夹角，求. 解： 例析 例10.设，，求与的夹角. 解：由，得 因为，所以 新知探索 如图1，设，是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.(与平行的向量) 图1 图2 如图2，我们可以在平面内任取一点，作，.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量. 新知探索 思考1：如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与，，之间有怎样的关系？ 图1 显然，与共线，于是. 下面我们探究与，的关系，进而给出的明确表达式.我们分为锐角、直角、钝角以及，等情况进行讨论. 当为锐角(如图1)时，与方向相同，， 所以 新知探索 当为直角(如图2)时，，所以 当为钝角(如图3)时，与方向相反， 所以， 即 图2 图3 新知探索 当时，所以 当时，所以 从上面的讨论可知，对于任意的，都有. 思考2：从上面的探究我们看到，两个非零向量与相互平行或垂直时，向量在向量上的投影向量具有特殊性.这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？ 新知探索 由向量数量积的定义，可以得到向量数量积的如下重要性质. 设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 (1). (2) (3)当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. 此外，由还可以得到 (4) 思考3：如果，是否有，或？ 不一定，还有可能 注常常记作 新知探索 辨析1：判断正误. 1.两个向量的数量积是一个向量. ( ) 2.向量在向量上的投影向量一定与共线. ( ) 3.若则与的夹角为钝角. ( ) 4.若则对任一非零向量都有. ( ) 答案：×，√，×，×. 练习 题型一：向量数量积的基本计算 例1.已知，，分别根据下列条件计算与的数量积： (1)(2)；(3)与的夹角为60°. 解：设与的夹角为. (1)当时，若与同向，则， 若与反向，则， (2)当时，与的夹角为90°， (3)当与的夹角为60°时， 练习 变1.已知正三角形的边长为，求： (1)(2)(3) 解：(1)∵与的夹角为60°， ∴ (2)∵与的夹角为120°， ∴ (3)∵与的夹角为60°， ∴ 练习 方法技巧： 利用定义法求平面向量的数量积，关键是找到两向量的模以及夹角，直接利用公式求解. 练习 题型二：投影向量的计算 例2.在等腰三角形中，，，为的中点. (1)求在上的投影向量；(2)求在上的投影向量的长度. 解：如图，连接因为为等腰三角形，且为的中点，所以 又，，所以 由图可知与的夹角为的补角， 所以与的夹角为150°. (1)在上的投影向量为 (2)在上的投影向量为 练习 变2.已知，，与的夹角为45°，则向量在向量上的投影向量的模