6.2.3向量的数乘运算(练习)-【高效课堂】2021-2022学年高一数学下学期同步精讲课件+课后巩固练(人教A版2019必修第二册)

6.2.3向量的数乘运算 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，是的边中点，则向量=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用向量的加、减以及数乘运算即可求解. 【详解】 . 故选：D解题通法 用已知向量表示相关向量的基本思路 用已知向量表示其他向量是解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形中的中位线定理，相似三角形对应边成比例等，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解。 2．已知是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的（ ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解题通法 三角形的“四心” （1）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等. （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三条边中垂线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等.若点是内一点，满足,则点为的外心. （3）三角形的垂心：三角形三条高的交点. （4）三角形的重心：三角形三条中线的交点.若是内一点，且满足 ,则是的重心. 【答案】C 【解析】 【分析】 设为的中点，由向量的线性运算可得，代入已知条件计算可知，进而可得答案. 【详解】 如图：设为的中点， 因为 由可得，， 所以三点共线，因为， 所以点在射线上， 所以点的轨迹一定通过的重心， 故选：C. 3．在中，，，，则直线通过的（ ） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量的加法的几何意义，结合菱形的对角线为相应角的平分线，得到在的角平分线上，从而作出判定. 【详解】 因为,∴， 设,则， 又， ∴在的角平分线上， 由于三角形中, 故三角形的边上的中线，高线，中垂线都不与的角平分线重合， 故经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心， 故选D. 4．下列结论正确的是（ ） A．若，则或 B．若，，则 C．若，，则或 D．若，其中，则 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的定义，共线，数乘的定义分别进行判断． 【详解】 时，与可能不共线，如，，满足，但没有或成立，A错； ，，若，则与可能不共线，B错； 由向量数乘定义知C正确； 时，，但与可以是任意向量，不一定相等，D错． 故选：C． 5．已知，是单位圆上的两点，为圆心，且，是圆的一条直径，点满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，做出简图，分析可得在线段上，进而分析的取值范围，又由，分析可得答案． 【详解】 解：根据题意，如图：点满足，则在线段上， 又由，是单位圆上的两点，为圆心，且， 则的最小值为到线段的距离，最大值为圆的半径，即， 是圆的一条直径，是的中点，则， 故有，则的取值范围是，； 故选：． 6．已知点是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为 A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】 【分析】 延长交于，利用三点共线可设，再利用三点共线可设，利用题设条件可计算的值，从而可计算所求面积之比. 【详解】 如图，延长交于，则， 因为三点共线，所以即， 所以，则，故且， 又，故，所以， 所以，所以，故选C. 【点睛】 一般地，利用向量的线性运算可计算平面几何中线段的比值，从而得到相应的面积之比，在计算线段比值时，应利用基底法，把向量的关系转化为基底向量的系数关系，从而得到欲求的线段长度的比值. 二、多选题 7．向量，，则下列说法正确的是（ ） A． B．向量方向相反 C． D． 【答案】ABD 【解析】 【分析】 由已知可得，根据向量共线定理及数乘的几何意义、模长的求法即可判断各选项的正误. 【详解】 由，，可得，即且方向相反，故A、B、D正确； 由上可得，故C错误. 故选：ABD. 8．已知m，n是实数， 是向量，则下列命题中正确的为（ ） A． B． C．若，则 D．若，则m＝n 【答案】AB 【解析】 【分析】 根据数乘向量的运算法则，化简整理，即可得答案. 【详解】 对于A：根据数乘向量的原则可得：，故A正确； 对于B：根据数乘向量的原则可得：，故B正确； 对于C：由可得，当m＝0时也成立，所以不能推出，故C错误； 对于D：由可得，当，命题也成立，所以不能推出m＝n. 故D错误； 故选：AB 三、填空题 9．已知正方形中，是的中点，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】 找一组基向量分别表示出，再用待定系数法即可求得． 【详解】 解：令则， 有∵，∴， ∴ 解得： ∴ 【点睛】