6.4.3 余弦定理、正弦定理1-【高分突破系列】2021-2022学年高一数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第二册)

余弦定理、正弦定理1 1正弦定理 ① 正弦定理 (其中是三角形外接圆半径) ② 变形 化边为角 化角为边 ③ 正弦定理的“齐次角边互换”理由 有角有边的等式 化为 只含边的等式 （*） 等式中含有三个式子(、、)，每个式子中都有一个值，并且它们的次数都是，则可以把直接转化为对应的边、！ 同理. 思考以下转化是否正确 (1) (错)， (2) (对) ④ 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题 (1) 已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； Eg 在，内角所对的边分别是，，，，，，则边 . (2) 已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边. Eg在，内角所对的边分别是，，则角 . (三角形中有一组对边和对角就可考虑正弦定理) ⑤ 三角形解的个数问题 已知两边和其中一边的对角，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论. 是锐角 是直角或钝角 一解 无解 一解 两解 一解 无解 Eg 求满足的三角形△ABC个数. 方法1 利用正弦定理求解 由正弦定理可得：，则， ，且为锐角，有一解，故三角形只有一解； 方法2 图像法 先做出角过点作此时可知，以为圆心，5为半径画个圆弧，由于，显然圆弧与射线交于一个点，如图可知满足题意的三角形只有一个！ 2 面积公式 3 余弦定理 ① 余弦定理 ② 变形 ③ 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题 (1) 已知三边，可求三个角； Eg 在中，若，则角 . (2) 已知两边和一角，求第三边和其他两个角. Eg 在中，，则 .(角为两边的夹角) 在中，3，则边 . (角不为两边的夹角) ④ 三角形类型的判断 · ； · ； · . ⑤ 射影定理   【题型一】正弦定理、余弦定理解单个三角形 【典题1】在中，角的对边分别是，若，且三角形有两解，则角的取值范围是 . 【解析】方法 ，，为锐角， ， . 方法 几何法 如图，，以为圆心为半径作，则上任一点(与直线交点除外)可为点构成，当AB与相切时，，∠；当与相交时，，因为三角形有两解，所以直线与应相交，. 【点拨】方法二想法与用(三角形有个解可得)这个结论一致的，但不太赞成学习数学去套结论解题，应理解结论的推导方法. 【典题2】在中，角的对边分别是，且面积为，若，，则角等于 . 【解析】方法1 ， 由正弦定理可得，(把边化为角) 即，() ，，故， ，， ，， ． 方法2 由余弦定理可得 (把角化边) 化简得 ， 接着同方法 【点拨】 ① 对于一有角有边的等式，可利用正弦定理或余弦定理化简为只含角或只含边的等式； ② 在三角形中. 【典题3】 的内角的对边分别为，若，，且，则下列选项不一定成立的是(　　) A． B．的周长为 C．的面积为 D．的外接圆半径为 【解析】 ， ，化简得， 或， (1)当，时，由得， ，，； (2)当时，由正弦定理得， ，由余弦定理得， 则，解得，则， 此时满足，即， 对于，当时，，故错误； 对于，当或时，的周长为，故正确； 对于C，当时，的面积， 当时，，故正确； 对于，当或B时，由正弦定理得，得，故正确， 综上可得，命题正确的，错误的为.故选：． 巩固练习 1(★) 在中，，，，则角的值为　 ． 【答案】 【解析】由正弦定理可得，， 故，即， 因为，故，且为三角形内角， 故． 2(★) 在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，3，则值为　 ． 【答案】或， 【解析】由余弦定理可得， 即，即，解得或， 3(★) 在中，若，则的最大内角与最小内角的和为　 ． 【答案】 【解析】因为，由正弦定理可得， 设，三角形中由大边对大角可得角最大，角最小， 由余弦定理可得，因为， 所以，所以. 4(★)【多选题】已知的内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，有两解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于，：，，，是钝角三角形，只有一解； 对于，，，，由正弦定理得，解得， 又，且，所以有个值，三角形有两解； 对于，，，，由正弦定理得，解得， 由，所以，所以，三角形只有一解； 对于，2，，，由正弦定理得，解得， 又，所以，所以有两个值，三角形有两解． 故选：BD． 5(★★) 【多选题】