6.4.1-6.4.2 平面向量的应用-【高分突破系列】2021-2022学年高一数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第二册)

平面向量的应用 1 平面几何中的向量方法 ① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决. ② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲” 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 把运算结果“翻译”成几何关系. Eg 点不在同一直线上 证明直线平行或共线： 证明直线垂直： 求线段比值：且 证明线段相等： 2 向量在物理中的应用 ① 速度、力是向量，都可以转化为向量问题； ② 力的合成与分解符合平行四边形法则. 【题型一】平面向量在几何中的应用 【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【典题2】 已知平行四边形的对角线为，求证 (即对角线的平方和等于邻边平方和的倍). 【典题3】 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点. 【典题4】证明三角形三条中线交于一点. 巩固练习 1(★★) 如图，分别是四边形的边，的中点，，，，，则线段的长是　　． 2(★★) 证明勾股定理，在中，，则 3(★★) 用向量方法证明 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 4(★★)用向量方法证明 设平面上四点满足条件，则． 5(★★)用向量方法证明 对角线相等的平行四边形是矩形. 6(★★★) 已知向量、、满足0，||=||=||=1．求证 △P1P2P3是正三角形． 【题型二】平面向量在物理中的应用 【典题1】 如图，已知河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为． (1)若此人朝正南方向游去，且，求他实际前进方向与水流方向的夹角和的大小； (2)若此人实际前进方向与水流垂直，且，求他游泳的方向与水流方向的夹角和的大小． 【典题2】 在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为θ．给出以下结论 ①越大越费力，越小越省力； ②的范围为； ③当时，； ④当时，． 其中正确结论的序号是　 　． 【典题3】 如图，重为的匀质球，半径为，放在墙与均匀的木板之间，端锁定并能转动，端用水平绳索拉住，板长，与墙夹角为，如果不计木板的重量，则为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？ 巩固练习 1(★★) 一条渔船以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，则这条渔船实际航行的速度大小为　 　． 2(★★) 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，且与水平夹角均为45°，，则物体的重力大小为　 　． 3(★★) 已知一艘船以的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成角，求水流速度和船实际速度． 4 (★★)一个物体受到同一平面内三个力的作用，沿北偏东的方向移动了．已知，方向为北偏东；，方向为东偏北30°；，方向为西偏北60°，求这三个力的合力所做的功． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（北京）股份有限公司5 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $平面向量的应用 1 平面几何中的向量方法 ① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决. ② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲” 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 把运算结果“翻译”成几何关系. Eg 点不在同一直线上 证明直线平行或共线： 证明直线垂直： 求线段比值：且 证明线段相等： 2 向量在物理中的应用 ① 速度、力是向量，都可以转化为向量问题； ② 力的合成与分解符合平行四边形法则. 【题型一】平面向量在几何中的应用 【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【证明】 设四边形的对角线交于点，且 ，即且 所以四边形是平行四边形 即对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【点拨】 ① 证明四边形是平行四边形且. ② 证明几何中的平行和长度关系可以转化为向量的倍数关系. 【典题2】 已知平行四边形的对角线为，求证 (即对角线的平方和等于邻边平方和的倍). 【证明】由 两式相加得 即 【点拨】利用可证明线段长度关系. 【典题3】 用向量方法证明：三角形三条高线