6.3 平面向量的基本定理及坐标表示-【高分突破系列】2021-2022学年高一数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第二册)

平面向量的基本定理及坐标表示 知识点一 平面向量的基本定理 1 平面向量的基本定理 设 ， 同一平面内的两个不共线向量， 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使 . 我们把，叫做表示这个平面内所有向量的一个基底. 如下图，，其中，. PS 唯一性的解释 若不共线，且则 2 正交分解及其坐标表示 ① 正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解； 如上图，重力分解成平行斜面的力和垂直于斜面的压力. ② 向量的坐标表示 在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量 为基底，则平面内的任一向量 可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示. 向量，就是以原点为起点，点为终点的向量. 知识点二 平面向量数乘运算与数量积的坐标表示 1 坐标运算 设，则 (1)向量的模 (2)向量的加减法运算 ， (3)若，，则  (4)实数与向量的积 (5)数量积 (6)夹角余弦值 拓展 定比分点 线段的端点的坐标分别是，点是直线上的一点， 当时，点的坐标是. 2 平面向量位置关系 若 ， . 【题型一】平面向量的基本定理的理解 【典题1】 如果，是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 【解析】 ，是平面内一组不共线的向量，作为基底的向量，前提为不共线向量， 所以对于选项都为不共线向量，选项 和为共线向量． 故选 ． 【典题2】已知方程，其中是非零向量，且不共线，则该方程(　　) A．至多有一个解 B．至少有一个解 C．至多有两个解 D．可能有无数多个解 ，， 不共线，故存在唯一一对实数使， 若满足，则方程有一个解；不满足，则方程无解； 所以至多一个解，故选 ． 【点拨】本题考核对平面向量的基本定理中的”存在性、唯一性”的理解. 【题型二】平面向量的基本定理的运用 【典题1】已知在中，分别是边上的点，且与相交于点记，用，表示的结果是(　　) A． B． C． D． 【解析】 由题意，可知， 设， 则有 ① 又设， 则有 ② 通过比较①②，可得关于的二元一次方程组：， 解此二元一次方程组，得， 将结果带入①式，可得：，故选：． 【点拨】 ① 这里给到的方法是以不共线向量为基底，通过两个方式得到向量的表达式，即，再由平面向量的基本定理求出. ② 本题方法很多也可以用平行四边形法则求解. 【典题2】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若，求. 【解析】以所在直线为轴，以为原点建立平面直角坐标系(如图)． 令，则 ， 过作交的延长线为，由已知得故 则 ，则 ， 即有. 【点拨】 ① 本题也可以用平行四边形法则求解； ② 这里讲解的方法是建系法，常见步骤如下 (1) 找到合适的方式(一般是利用题中垂直关系等)建系； (2) 通过一些几何的知识点求出线段的长度，进而得到关键点的坐标； (3) 关键向量用坐标形式表示，比如本题中的等； (4) 得到方程组求解(其实就是利用平面向量的基本定理的唯一性). ③ 当根据题意发现容易建系(比如有明显的垂直关系等)，可考虑建系法，它充分体现了“解析几何的优势”. 【典题3】 在直角梯形中，分别为的中点，以为圆心，为半径的半圆分别交及其延长线于点，点在上运动(如图)．若，其中，则的取值范围是 . 【解析】 建立如图所示的坐标系， 则，，，，，， ，(因为在单位圆上，为) 由得 ⇒ 即的取值范围是． 【点拨】 利用建系法求解，点在单位圆上，巧妙的设为，引入参数，此处要注意，则是的函数，求最值不难了. 巩固练习 1(★) 下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 只要两向量不共线即可作为基底， A．，∴共线，不能作为基底； B．，∴不共线，可以作为基底； C．，∴，∴不能作为基底； D．，∴，∴不能作为基底． 故选 B． 2 (★★)如图，四边形是正方形，延长至，使得．若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中 ，下列判断正确的是(　　) A．满足的点必为的中点 B．满足的点有且只有一个 C．满足的点P最多有3个 D．的最大值为 【答案】D 【解析】以AB，AD所在直线分别为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系， 设正方形边长为1，P(x，y)，则A(0，0)，B(1，0)，E(－1，1)； ∴； ∴由得，(x，y)=(λ－μ，μ)； ∴； ∴满足λ+μ=2的点P有线段BC的中点和D点； 满足λ+μ=1的点P有B点和线段AD的中点； 满足λ+μ=a(a>0)的点最多有2个；x=1，y=1时，λ+μ取最大值3．故选 D． 3 (★★) 如图，在中，设的中点为