专题13 方案型问题-备战2022年中考数学母题题源解密（河南专用）

专题13 方案型问题 【母题来源】2021年河南中考数学卷 【母题题文】猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 类别 价格 款玩偶 款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） （1）第一次小李用元购进了，两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个； （2）第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？ （注：利润率） 【答案】（1）款20个，款10个；（2）款10个，款20个，最大利润是460元；（3）第二次更合算．理由见解析 【试题解析】 【分析】 （1）根据题意列二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据条件求得利润的解析式，再判断最大利润即可； （3）分别求出第一次和第二次的利润率，比较之后即可知道哪一次更合算． 【详解】 （1）设，两款玩偶分别为个，根据题意得： 解得： 答：两款玩偶，款购进20个，款购进10个． （2）设购进款玩偶a个，则购进款个,设利润为y元 则 （元） 款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半 ，又 且为整数， 当时，y有最大值 （元） 款个，款个，最大利润是元． （3）第一次利润（元） 第一次利润率为： 第二次利润率为： 第二次的利润率大，即第二次更划算． 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的应用，最大利润方案问题，利润率求解等问题，一次函数最值问题，理解题意，根据题意列出方程组是解题的关键． 【命题意图】方案型问题是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题，这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质。 【命题方向】方案型问题一般分为方案设计和方案的选取。常用的数学模型有方程模型、不等式模型和函数模型等。在河南中考中通常以解答题形式考查。 【得分要点】 1.基础的方程（组）、不等式（组） （1）审题。 （2）设未知数。 （3）找关系式 （4）求解，个别方程需要检验 (5)作答 2.方案选取问题 （1） 题型一 方程（组）和不等式（组）类型的 （2） 题型二 方程（组）和一次函数类型的，此类题一般有2个方案，需要求2个一次函数关系式，然后去比较大小。 （3） 题型三 方程（组）、不等式（组）和一次函数类型的，此类题要用到一次函数的增减变化性质。 3.方案设计问题 方程（组）、不等式（组）和一次函数，此类题要根据一次函数的增减变化性质去设计方案。 4.最值问题 求出二次函数的顶点坐标，从而确定最值。 5.函数图象问题 通过图象，找出信息，求出解析式。 1.（2021年河南省焦作市武陟县九年级数学第二次模拟考试） 某新华书店对学校推出租书优惠月活动，活动方案如下： 方案一：不购买会员卡租书，每本收费1元； 方案二：购买会员卡租书，需交会员费12元，租书费每本0.4元； 设学生租书（本）按照方案一所需费用为（元），且；按照方案二所需费用为（元），且．其函数图象如图所示． （1）填空：___________，___________，___________； （2）两种方案的函数图象交于点，请解释点的实际意义； （3）若七（1）班本周准备借阅图书30本，应选择哪种方案所需费用较少？请说明理由． 【答案】（1）1；；12；（2）见解析；（3）方案二费用较少，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）结合、图像上的点的坐标，代入即可求解； （2）A点是、图像的交点，求出A点坐标，再联系、轴表示的意义，即可求解； （3）通过（1）中的关系式和时，求出费用，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得，即，所以； 图像经过点和点 解得： 即；所以；； 故：；；； （2） A点是、图像的交点，即 ，解得 当时，，即 点A的实际意义是：当学生租书本时，两种方案的费用一样且都为元； （3）方案一：当时，元 ； 方案二：当时，元 选择方案二的费用较少． 【点睛】本题主要考察函数图像的认识、待定系数法、交点的求法和意义、方案选择，属于函数应用的基础题型，难度不大．解题的关键是掌握待定系数法求解函数解析式． 2.（2021年河南省实验中学中考数学二模试题）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元． （1）求毛笔和宣纸的单价； （2）某超市给出以下两种优