18.2.3.3 中点四边形+动点问题-简单数学之2021-2022学年八年级下册考点专训（人教版）

18.2.3.3 中点四边形+动点问题 一、单选题 1．（2021·广东·高州市镇江第一中学九年级期中）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得到的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．对角线垂直且相等的四边形 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意找到已知条件和所求结论，根据三角形中位线的性质，进行判定即可． 【详解】 已知：如下图，四边形EFGH是正方形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， 求证：四边形ABCD是对角线垂直且相等的四边形． 证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， 根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG； ∵四边形EFGH是正方形，即EF⊥FG，FE＝FG， ∴AC⊥BD，AC＝BD， 故选：D． 【点睛】 此题考查了正方形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是掌握正方形和三角形中位线的有关性质． 2．（2020·广东·佛山市华英学校九年级期中）下列命题正确的是（ ）．A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C．矩形的对角线互相垂直 D．顺次连接菱形各边中点，所得的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】 根据菱形、矩形、正方形的性质和判定定理分别进行分析即可． 【详解】 A选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，A说法错误； B选项：对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，如下图所示： C选项：矩形的对角线不一定互相垂直，只有特殊的矩形（正方形）对角线才是互相垂直的，反例情况如下图． D选项：如图，取菱形ABCD四边的中点E、F、G、H， 依次连接E、F、G、H， 连接AC，BD，交于M点， ∵E、F分别为AB，CB中点， ∵EF//AC，EF＝AC， 又∵G、H分别为CD、AD中点， ∴HG//AC，HG＝AC， ∴EF//AC//HG，EF＝HG＝AC， ∴四边形EFGH为平行四边形， 同理有EH∥BD//FG， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD⊥AC， 故∠BMA＝90°， ∴另得∠HEF＝90°， ∴平行四边形EFGH为矩形， 故D选项正确． 故选D． 【点睛】 此题主要考查了多边形，关键是掌握菱形、矩形、正方形的判定和性质定理． 3．（2021·陕西师大附中九年级阶段练习）在四边形ABCD中，AC＝BD＝8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点EG2＋FH2的值为（ ） A．72 B．64 C．48 D．36 【答案】B 【解析】 【分析】 作辅助线，构建四边形EFGH，证明它是菱形，利用对角线互相垂直和勾股定理列等式，再利用中位线性质等量代换可得结论． 【详解】 解：连接EF、FG、GH、EH， ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF∥AC，HG∥AC，， ∴EF∥HG， 同理EH∥FG， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∵AC=BD， ∴EF=FG， ∴平行四边形EFGH为菱形， ∴EG⊥FH，EG=2OG，FH=2OH， ∴EG2+FH2=（2OE）2+（2OH）2=4（OE2+OH2）=4EH2=, 故选：B． 【点睛】 本题考查了中点四边形，运用了三角形中位线的性质，将三角形和四边形有机结合，把边的关系由三角形转化为四边形中，可以证明四边形为特殊的四边形；对于线段的平方和可以利用勾股定理来证明． 4．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级阶段练习）如图，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，则四边形是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【解析】 【分析】 顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形． 【详解】 解：如图，连接， 、、、分别是四边形边的中点， ，，，； 且； 四边形是平行四边形． 故选：A． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定以及三角形的中位线定理，解题的关键是根据已知利用三角形中位线定理得出，，，． 5．（2021·河南省实验中学九年级阶段练习）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法： ①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形； ②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形； ③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分； 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】 【分析】 根据一般四边形的中点四边形是平行四边形，得四边形EFGH是平行四边形，①当时，，四边形EFGH是菱形；②当时，，四边形EFGH是矩形；③当四边形EF