第17讲 一次函数中蕴含的数学思想-2021-2022学年八年级数学下册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）

第17讲 一次函数中蕴含的数学思想（原卷版） 第一部分 专题典例剖析及针对训练 类型一 数形结合思想 典例1 如图，直线y1x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y2＝x交于点E，点E的横坐标为3． （1）直接写出b值：　4　； （2）当x取何值时，0＜y1≤y2？ （3）在x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线，与直线y1x+b交于点C，与直线y2＝x交于点D，若CD＝2OB，求m的值． 针对训练1 1．若两个变量x，y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是（　　） A．﹣3≤y≤3 B．0≤y≤2 C．1≤y≤3 D．0≤y≤3 2．如图1，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm）．如图2是点P出发x秒后△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后△AQD的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．根据图象： （1）求a、b、c的值； （2）设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需要走的路程为y2（cm），请分别写出改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P与Q相遇时x的值． 类型二 方程思想 典例2 我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y＝kx+b与y＝bx+k互为交换函数．例如：y＝4x+3的交换函数为y＝3x+4．一次函数y＝kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为　 　． 针对训练2 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0）和（3，0）．现将线段AB平移得到线段CD，且点A的对应点C的坐标为（0，2），连接AD． （1）直接写出点D的坐标为 　 　，△ABD的面积为 　 　； （2）将线段AD向左平移m个单位，再向上平移n个单位后得线段EF，点A的对应点E的坐标为E（a，b），点D的对应点为F，如果x＝a，y＝b是方程2x+y＝3的解，且点F在第一象限的角平分线上，求a，b的值； （3）点P（t，0）是x轴上位于点A右侧的动点，连接PC，将线段PC向右平移得线段QD，其中点P的对应点为Q，点C的对应点为D，H是DQ的中点，如果△BDH和三角形PBD面积相等，求t的值．[参考公式：点P的坐标（x1，y1），点Q的坐标（x2，y2），则线段PQ的中点M的坐标为（，）] 类型三 分类讨论思想 典例3 表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线l，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l′． x ﹣1 0 y ﹣2 1 （1）求直线l的解析式； （2）直接写出直线l′的表达式为 　　，并在图1中画出直线l′（要求先列表取点）； （3）若P（a，0）是x轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别交直线l，l′于点M、N．当MN＝3时，直接写出a的值 　 ； （4）若Q（0，m）是y轴上的一个动点，对点Q作x轴的平行线，分别与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出m的值 　　 ． 针对训练3 4．已知一次函数y＝kx+b，当0≤x＜2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y＜4，则kb的值为（　　） A．12 B．﹣6 C．﹣6 或﹣12 D．6或12 类型四 函数与建模思想 典例4 黔东南州某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元． （1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？ （2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售．已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件． ①设运往甲地的A商品为x（件），投资总运费为y（元），请写出y与x的函数关系式； ②怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝购进商品的费用+运费） 针对训练4 5．2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h