专题5.6 平行线中的综合（压轴题专项讲练）-2021-2022学年七年级数学下册从重点到压轴（人教版）

专题5.6 平行线中的综合 【典例1】已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F． （1）如图①，当∠A＝20°，∠APC＝70°时，求∠C的度数； （2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量？试证明你的结论； （3）如图③，当点P在直线EF上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系． 【思路点拨】 （1）过P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根据平行线性质得出∠APO＝∠A＝20°，∠C＝∠CPO，代入求出即可； （2）过P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根据平行线性质得出∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，求出即可； （3）分三种情况讨论：①当P在线段EF的延长线上运动时，②当点P在线段FE的延长线上运动时，③当点P在线段EF上运动时，根据平行线的性质即可得到结论． 【解题过程】 解：（1）过P作PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PO∥CD， ∵∠A＝20°，当点P在线段EF上运动时， ∴∠APO＝∠A＝20°，∠C＝∠CPO， ∵∠APC＝70°， ∴∠C＝∠CPO＝∠APC﹣∠APO＝70°﹣20°＝50°； （2）∠A+∠C＝∠APC， 证明：过P作PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PO∥CD， ∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO， ∴∠APC＝∠APO+∠CPO＝∠A+∠C； （3）解：①当P在线段EF的延长线上运动时，不成立，关系式是：∠A﹣∠C＝∠APC， 理由是：过P作PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PO∥CD， ∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO， ∴∠A﹣∠C＝∠APO﹣∠CPO＝∠APC， 即∠A﹣∠C＝∠APC； ②当点P在线段FE的延长线上运动时，新的相等关系为∠C＝∠APC+∠A． 理由：设AB与CP相交于Q，则∠PQB＝∠APC+∠A． ∵AB∥CD， ∴∠C＝∠PQB， ∴∠C＝∠APC+∠A． ③当点P在线段EF上运动时，成立，关系式为∠A+∠C＝∠APC， 证明：过P作PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PO∥CD， ∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO， ∴∠APC＝∠APO+∠CPO＝∠A+∠C； 综上所述，当点P在直线EF上运动时，（2）中的结论不一定成立． 1．（2021秋•农安县期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数； （2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 　 　． （3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数． 【思路点拨】 （1）过点P作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠APE＝∠A＝50°，∠EPD＝180°﹣150°＝30°，即可求出∠APD的度数； （2）过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，根据平行线的性质可得∠CDP＝∠DPF，∠FPA+∠PAB＝180°，又∠FPA＝∠DPF﹣APD，即可得出∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°； （3）PD交AN于点O，由AP⊥PD，得出∠APO＝90°，由∠PAN∠PAB＝∠APD得出∠PAN∠PAB＝90°，由∠POA+∠PAN＝90°，得出∠POA∠PAB，由对顶角相等得出∠NOD∠PAB，由角平分线的性质得出∠ODN∠PDC，即∠AND＝180°（∠PAB+∠PDC），由（2）得：∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°，代入计算即可求出∠AND的度数． 【解题过程】 解：（1）如图1，过点P作EF∥AB， ∵∠A＝50°， ∴∠APE＝∠A＝50°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠CDP+∠EPD＝180°， ∵∠D＝150°， ∴∠EPD＝180°﹣150°＝30°， ∴∠APD＝∠APE+∠EPD＝50°+30°＝80°； （2）如图2，过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD， ∴∠CDP＝∠DPF，∠FPA+∠PAB＝180°， ∵∠FPA＝∠DPF﹣APD， ∴∠DPF﹣APD+∠PAB＝180°， ∴∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°， 故答案为：∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°； （3）如图3，PD交AN于点O， ∵AP⊥PD， ∴∠APO＝90°， ∵∠PAN∠PAB＝∠APD， ∴∠PAN∠PAB＝90°， ∵∠POA+∠PAN＝90°， ∴∠POA∠PAB， ∵∠POA＝∠NOD， ∴∠NOD∠PAB， ∵DN平分∠PDC， ∴∠ODN∠PDC， ∴∠AND＝180°﹣∠NOD﹣∠ODN ＝180°（∠PAB+∠PDC）， 由（2）得：∠