第6章 空间向量与立体几何【压轴题型专项训练】-2021-2022学年高二数学单元复习过过过（苏教版2019选择性必修第二册）

2021-2022学年高二数学单元复习过过过【压轴题型专项训练】 第6章 空间向量与立体几何 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，，，1，，，，则的最小值为　　 A．0 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【解析】，，，1，，，， ， 整理得：， 令，则，且，，， ， 当时，． 的最小值为0． 故选A． 2．在空间直角坐标系中，已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点在直线上运动，存在实数使得，，， ，． ， 当且仅当时，上式取得最小值， ． 故选C． 3．设向量，其中，则下列判断错误的是　　 A．向量与轴正方向的夹角为定值（与，之值无关） B．的最大值为 C．与的夹角的最大值为 D．的最大值为1 【答案】B 【解析】由向量，其中，知： 在中，设轴正方向的方向向量，0，， 向量与轴正方向的夹角的余弦值： ，， 向量与轴正方向的夹角为定值（与，之值无关），故正确； 在中，， 且仅当，时取等号，因此的最大值为1，故错误； 在中，由可得：，， ， 与的夹角的最大值为，故正确； 在中，， 的最大值为1．故正确． 故选B． 4．已知空间向量，0，，，1，，，0，，向量，且，则不可能是　　 A． B．1 C． D．4 【答案】A 【解析】，0，，，1，，，0，， ，，，且， ； ， 不可能是． 故选A． 5．在空间直角坐标系中，，，，，0，，平面的一个法向量为，0，，则平面与平面夹角的正弦值为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，，，0，，设平面的一个法向量为，，， 可得，不妨，则，，所以，1， 又平面的一个法向量为，0，， 平面与平面夹角的余弦函数值：， 平面与平面夹角的正弦值为：． 故选A． 6．已知正方体的棱长为2，点，在平面内，若，，则下列选项中错误的是　　 A．点的轨迹是圆的一部分 B．点的轨迹是一条线段 C．的最小值为 D．与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】D 【解析】对于，在正方体中， 平面，平面， ， 故，则有， 点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆的一部分，故正确； 对于，在正方体中，平面， ，平面， 故在上， 的轨迹是线段，故正确； 对于，的最小值即为求线段上的点到以为圆心，1为半径的圆的最小距离， 又圆心到线段的距离为， 的最小值为，故正确； 以为坐标原点分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 故设，，，，， 则，0，，，0，，，0，，，2，， ，，，，0，，，2，， 设平面的法向量为，，， 则，令，则，， 故，1，， 设与平面所成的角为， 则， 当时，有最大值， 故与平面所成角的正弦值的最大值为，故错误． 故选D． 7．如图，正方体的棱长为，是的中点，则　　 A．直线平面 B． C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成的角正切值为 【答案】D 【解析】如图，以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，0，，，，，，，，，0，，，0，，，，，，，， 所以，，，，0，，，，， 对于，设平面的一个法向量为，，， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为，1，， 又因为， 所以与不垂直，故直线与平面不平行，故错误； 对于，，，，，，， 所以， 所以直线与不垂直，故错误； 对于，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 又，又高为，所以，故错误； 对于，平面的一个法向量为，，，以，，， 设直线与平面所成的角为， 所以， 可求得， 所以，所以直线与平面所成的角正切值为，故正确． 故选D． 8．如图，在正方形中，点，分别是线段，上的动点，且，与交于，在与之间滑动，但与和均不重合．在任一确定位置，将四边形沿直线折起，使平面平面，则下列选项中错误的是　　 A．的角度不会发生变化 B．二面角先变大后变小 C．与平面所成的角变小 D．与所成的角先变小后变大 【答案】B 【解析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方形的边长为1，，则，0，，，1，，，，，，1，，，1，， 对于，， ， 的角度不会发生变化，故选项正确； 对于，设平面的法向量为，则，则可取， 设平面的一个法向量为，则，则可取， ， 而的对称轴为，在先减小后增大， 在先减小后增大，且二面角为钝角， 先增大后减小，故选项错误． 对于，易知平面的一个法向量为，设与平面所成的角为， 则， ，则单调递减，则单调递减， 与平面所成角变小，故选项正确； 对于，设与所成的角为，， ， 而的对称轴为，且， 先减小后增加，则先增加再减小，即与所成的角先变小后变大，故选项正确； 故选B． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有