第15讲 正方形中的线段数量关系突破技巧-2021-2022学年八年级数学下册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）

第15讲 正方形中的线段数量关系突破技巧（原卷版） 第一部分 专题典例剖析及针对训练 类型一 a＝b型 典例1 （2019•金山区二模）已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC． （1）求证：四边形ABCD是正方形． （2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF． 针对训练1 1．（2019•灞桥区校级四模）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E． （1）求证：四边形MANP是正方形； （2）求证：EM＝BN． 类型二a＝2b型 典例2 （2021春•莱州市期末）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝DF．线段BE与AF相交于点G，GH是△BFG的中线．判断线段BF与GH之间的数量关系，并说明理由． 针对训练2 2．（2021•恩阳区 一模）如图，点G在正方形ABCD的边CD上，且四边形CEFG也是正方形，连接BG，DE，AF，取AF的中点M，连接CM． 求证：（1）BG＝DE； （2）CMAF． 类型三 a＝b型 典例3 （2020春•邹城市期末）如图，▱ABCD中，∠A＝45°，过点D作ED⊥AD交AB的延长线于点E，且BE＝AB，连接BD，CE． （1）求证：四边形BDCE是正方形； （2）P为线段BC上一点，点M，N在直线AE上，且PM＝PB，∠DPN＝∠BPM．求证：ANPB． 针对练习3 3.如图，正方形ABCD中， AC，BD交于点O，E为OD上一点，且BD＝BE.求证:DE＝OE. 类型四 a＋b＝c型 典例4 （2021秋•沭阳县月考）阅读分析过程，解决问题： 如图，正方形ABCD（四条边都相等，四个角都是90°），点E、F在CD、BC上，并且∠EAF＝45°，延长CD至点G，使DG＝BF，并连接AG． （1）求证：EF＝DE+BF； （2）若AB＝2，则△EFC的周长＝　 　． 针对练习4 4．（2021秋•顺德区月考）如图，正方形ABCD中，E为BC边上的一点，BG⊥AE，DF∥BG，点F，G均在线段AE上． （1）求证：∠1＝∠2； （2）求证：AG＝FG+BG． 类型五 a＋b＝c型 典例5 （2019春•襄州区期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）判断CE，CG与AB之间的数量关系，并给出证明． 针对练习5 5．（2021春•萝北县期末）如图，已知正方形ABCD中，E是直线BC上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE交直线AE于点F，连接BF． （1）如图1，求证：CF+AFBF； （2）如图2，图3，其他条件不变，线段AF，CF，BF之间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不需证明． 类型六型 典例6（2021秋•余姚市期中）如图，已知正方形ABCD，∠MAN＝45°，连接CB，交AM、AN分别于点P、Q，求证：CP2+BQ2＝PQ2． 针对练习6 6．（2021•雁塔区校级开学）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC，垂足为点E，GF⊥BC，垂足为点F，连接AG．写出线段AG，GE，GF之间的数量关系，并说明理由． 类型七 型 典例7（2021春•黄埔区期末）如图，点P在正方形ABCD的对角线AC上，点E在边BC上，且PE＝PB． （1）求证：PE＝PD； （2）试探究BC2，EC2，PE2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 针对练习7 7．（2021春•香洲区期末）如图，点E在正方形ABCD外，DE＝CD，且DE∥AC．连接AC，AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F，交AE于点G． （1）求∠DAE的度数； （2）求证：AG2+DG2＝2AD2； （3）连接BG，并延长交AC于点N，交DE于点M，求证：四边形CEMN为平行四边形． 类型八 a＋b＝2c型 典例8（2021春•高州市月考）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是AB边上的一点，∠BFE的平分线交CD于点G．求证：AF+DG＝2EF． 第二部分 专题提优训练 1．（2013•安徽模拟）已知：如图，在△ABC中，∠A＞90°．以AB、AC为边分别在△ABC形外作正方形ABDE和正方形ACFG，EB、BC、CG、GE的中点分别是P、Q、M、N． （1）若连接BG、CE，求证：BG＝CE． （2）试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论． 2．（2009•路南区一模）如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点